構造法在高中數學解題中的應用

所謂構造法，就是根據題設條件或結論所具有的特征、性質，構造出滿足條件或結論的數學模型，借助于該數學模型解決數學問題的方法。

構造需要以足夠的知識經驗為基礎，較強的觀察能力、綜合運用能力和創造能力為前提，根據題目的特征，對問題進行深入分析，找出“已知”與“所求（所證）”之間的聯系紐帶，使解題另辟蹊徑、水到渠成。

一、構造輔助數與式

在解決某些數學問題時，利用矛盾對立統一性，可以充分揭示條件與結論的內在聯系，探索構造適宜的數與式，來架設解決問題的橋梁。

[例1]證明 N=???…﹤0.3。

[證明]本題若直接計算十分復雜，且方法不具一般性。根據題目中數的形似可以構造相應的數：M=??…，

顯然 M×N=，

又N﹤M（因為﹤；﹤；…），

所以N2﹤N×M=，從而得N﹤=0.3。

二、構造輔助函數

函數在中學數學中占有非常重要的地位，學生們對于函數也很熟悉，選擇構造函數這個學生很熟悉的模型來解決問題， 將會大大提高學生解決問題的能力。

由于一些代數式之間從形式上，本質上的相同之處，這就啟示著我們在某些數學問題的研究過程中，可構造類似的數學形式，運用構造的數學形式的內涵來解決問題。

[例2]求證：≤。

分析:拿到這道題，如果我們按常規的證明不等式的方法來做，我們應該清楚用比較法，但是比較法對于這個題目相當困難，仔細觀察可以發現不等式兩邊式子的形式相同，那么我們可以構造一個更一般的函數形式:f(x)=，再利用函數的單調性問題就很容易解決了，免去了復雜的化簡過程。

[解] 構造函數f(x)=，x∈[0，+∞）。

而函數f(x)=在定義域內單調遞增（易證），

又∵|a+b|≤|a|+|b|， ∴f(|a+b|)≤f(|a|+|b|)，

即≤，命題得證。

注意：運用這種構造，我們還可以證一般的情況:

≤

三、構造輔助方程

方程作為中學數學的重要內容之一，它與代數式，函數，不等式等知識密切不可分。依據方程理論，能使許多的問題得以轉化從而得到解決，這對學生的數學思想的培養具有重要意義。

[例3] 求y=的值域。

分析:求函數的值域的方法很多，判別式法是常用的一種，它的理論依據是將y=f(x)化為關于x的二次方程，那么方程若有實根，判別式△≥0，由此可求得函數的值域。

[解] 將y=變形為關于x的方程（1-y）x2-(y+3)x+(1-y)=0

⑴當y≠1時，方程為關于x的二次方程，所以△=（y+3）2-4(1-y)2≥0，

解得-≤y≤5。

⑵當y=1時，x=0， 此時y∈[-，5]，

于是y=的值域為y∈[-，5]。

四、構造輔助數列

在高中數學教材中，有很多已知等差數列的首項、公比或公差(或者通過計算可以求出數列的首項，公比)，來求數列的通項公式，但實際上有些數列并不是等差、等比數列，給出數列的首項和遞推公式，要求出數列的通項公式。而這些題目往往可以用構造法，根據遞推公式構造出一個新數列，從而間接地求出原數列的通項公式。對于不同的遞推公式，我們當然可以采用不同的方法構造不同的類型的新數列。下面給出幾種我們常見的構造新數列的方法。

1.利用倒數關系構造數列。

[例4]列數{an}中，若a1=2，=+4(n∈N)，求an。

[解]設bn=則bn+1=bn+4，即bn+1-bn＝４，

∴{bn}是等差數列。

可以通過等差數列的通項公式求出bn=4n-，然后再求數列{an}的通項。

2.構造形如bn=an2，bn=1gan，bn=an+m的數列。

[例5]正數數列{an}中，若a1=5，an+12=an2-4(n∈N)，求an。

[解]設bn=an2，則bn+1=bn-4，即bn+1-bn=-4，

數列 {bn} 是等差列數，公差是-4，b1=a12=25，

∴bn=25+（n-1）?（-4）=29-4n，

即an2=29-4n，

∴an= （1≤n≤7，n∈N）。

五、構造復數

由于復數具有代數，幾何，三角等多種表示形式，因此，復數與中學數學中各部分知識聯系密切。根據題目特點，適當構造出一個與題目等價的“復數模型”，利用復數的有關性質及它的特定性質與運算法則，常可巧妙地解決問題。

[例6] 已知cosx+cosy=a， sinx+siny=b，(a2+b2≠0)，求tan(x+y)的值（1990年文科高考題）。

[解] 設z1=cosx+isinx， z2=cosy+isiny，則

|z1|=|z2|=1，

又 z1+z2=（cosx+cosy）+i(sinx+siny)=a+ib，

則 z1 z2=cos(x+y)+isin(x+y)……①

利用 |z1|=|z2|=1

可得 z1+z2=z1 z2（z1+z2）=z1 z1（z1+z2）

因為a2+b2≠0，即a，b不全為0。

所以 z1 z2===+i……②

由式①，②得

cos(x+y)=， sin(x+y)=

即 tan(x+y)=。

（作者單位：廣東省惠州市第四中學）