巧構造，妙解題

著名數學家華羅庚說過：“數缺形、少直觀、形離數、難入微。”在初中階段，教師要使學生逐步形成數形結合的數學思想，因為數與形是和諧統一的，它們是數學中不可分割的兩個部分。本文通過舉例，來說明利用數形結合來解題的好處。

一、構造直角三角形，妙解題

例1.不查表，求tan22.5°的值。

分析：22.5°是45°的一半，因此，會使人聯想到構造等腰直角三角形。

解：如圖1，作Rt△ABC，∠C=90°，使AC=BC=1

∴∠BAC=45°，AB=■，作∠BAC的平分線AE交BC于E，

∴∠EAC=22.5°。

由角平分性質可知：■=■，即■=■。

∴CE=■—1，Rt△ACE中，tan22.5°=tan∠EAC=■=■—1。

二、構造數軸，妙解題

例2.求代數式|x+1|—|x—2|的最大值和最小值。

分析：根據所求代數式的結構，可以聯想到絕對值的幾何意義，繼而想到構造數軸。

解：由絕對值幾何意義知：|x+1|表示數軸上實數x對應的點P與—1對應的點A的距離。|x—2|表示數軸上實數點x對應的點P與2對應的點B的距離，而A、B的距離為3，于是構造數軸。

（1）當x≤—1時，如圖2，有 |x+1|—|x—2|=—3。

（2）當—1

（3）當x≥2時，如圖4，有|x+1|—|x—2|=3，故|x+1|—|x—2|的最大值為3，最小值為—3。

三、構造對稱性圖形，妙解題

例3.如圖5，A、B兩個村子在河CD的兩側，A、B兩村到河的距離分別為AC=1公里，BD=3公里，CD=3公里，現要在河邊CD上建一座水廠向A、B兩村輸送水，鋪設水管的工程費用為每公里20000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設水管的總費用最省，并求出鋪設水管的總費用F。

分析：要使鋪設水管的費用最少，關鍵是使水廠到兩村的距離和最短。利用對稱性，延長AC到A'，使A'C=AC，連結A'B，與CD相交于點O，點O就是我們要選擇的水廠位置，再構造Rt△A'BE。

解：過A'作A'E⊥BD，交BD的延長線于E，則BE=4，A'E=3，由勾股定理得：A'B=5。

∴鋪設的管道最短距離為AO+BO=A'B=5（公里）。

∴鋪設水管的總費用至少是20000×5=100000（元）。

四、構造直角坐標系，妙解題

例4.求y=■+■的最小值。

分析：根據代數式的構成，可以聯想到兩點間的距離公式，構造直角坐標系。

解：把原式變為：

■+■

于是，原式表示點P（x，0）到點A（1，1）、B（—1，1）的距離和。

如圖6，在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小。由對稱性可知，當P（x，0）為原點時，PA+PB最小，即x=0時，原式取最小值，最小值為2■。即y=■+■的最小值為2■。

五、構造其他圖形，妙解題

例5.已知正數a、b、c和x、y、z滿足條件a+x=b+y=x+z=k，求證：ay+bz+cx

解：如圖7，構造以k為邊長的正三角形ABC，在三邊上分別取點D、E、F，使CD=a，BE=c，AF=b，

則BD=x，AE=z，CF=y，

∵S△CDF+S△AEF+S△BED

∴■（ay+bz+cx）sin60°<■k2sin60°

∴ay+bz+cx

（作者單位：江西省臨川第二中學）