一道典型問(wèn)題的多解與變式

高三復(fù)習(xí)課必須講究效果和效率。因此，在高三的第二輪復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)該選擇基礎(chǔ)性強(qiáng)、方法典型，同時(shí)又能一題多解或一題多變的題目，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度來(lái)思考問(wèn)題，并進(jìn)行變式探究。這樣，不但可以使問(wèn)題得到拓展和延伸，提高學(xué)生的綜合解題能力，而且還能使平淡的復(fù)習(xí)課取得較好的教學(xué)效果。

例如：若不等式■+■≤a■對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

常規(guī)解法：

∵x，y>0 ∴已知不等式可變形為a≥■對(duì)任意x，y>0恒成立。

令u=■（x，y>0），則u2=■，而2■≤x+y，

∴u2≤■=2，又u>0，

∴u≤■。

∵a≥■對(duì)任意x，y>0恒成立， ∴a≤■。

解法二：

∵x，y>0 ∴已知不等式可變形為a≥■對(duì)任意x，y>0恒成立。

令u=■=■+■，而■，■∈（0，1），（■）2+（■）2 =1

于是，可設(shè)■=cosα，■=sinα，α∈（0，■），

∴u=cosα+sinα=■sin（α+■），

∵0<α<■ ∴■<α+■<■π

∴當(dāng)α=■時(shí)，u有最大值■，所以a≥■。

解法三：

∵x，y>0 ∴已知不等式可變形為a≥■對(duì)任意x，y>0恒成立。設(shè)u=■=■，■=（■，■），■=（1，1）’

由|■·■|≤|■|·|■||■·■|得■+■≤■·■，

當(dāng)■與■同向時(shí)取等號(hào)，即u=■≤■，

∴a≥■。

變式一：若不等式■+■≤a■對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：∵x，y>0 ∴已知不等式可變形為a≥■對(duì)任意x，y>0恒成立。

∴a2≥■。

設(shè)2■=2■≤λx+■（λ>0）’

∴■≤■=■，下面只需要找到實(shí)數(shù)k使得對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，y等式（1+λ）x+（1+■）y=k（2x+y）成立。

于是，1+λ=2k1+■=k？圯λ=2k=■，

∴a2≥■， ∴a≥■。

變式二：若不等式■+■≤a■對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：同變式一可得a2≥■，

同上可得∴■≤■=■。下面只需要找到實(shí)數(shù)k使得對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，y等式（1+λ）x+（1+■）y=k（x+2y）成立。

∴1+λ=k1+■=2k？圯λ=■k=■，

∴a2≥■， ∴a≥■，

變式三：若不等式■+■≤a■對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：同變式一可得a2≥■，

同理可得1+λ=2k1+■=3k？圯λ=■k=■，

∴a≥■=■。

（作者單位：深圳市第二高級(jí)中學(xué)）