突出數學思想,做好教學過渡銜接

突出數學思想方法教學，是做好初高中教學過渡銜接的重要手段。《集合》是高中數學的第一章內容，也是初高中教學過渡的關鍵性章節。因此，在《集合》這章的教學中，筆者有意識地讓學生認識到數形結合、化歸與轉化、分類討論等數學思想的重要作用，從而使他們把新舊知識有機地融合在一起。

一、數形結合思想

數形結合思想，是指將抽象的數學語言與直觀、具體的圖形結合起來，通過“數與形”的相互轉化，達到化難為易、化繁為簡的目的，常用數軸法和韋恩圖法。

例1.已知集合A、B、C為非空集合，M=A∩C， N=B∩C， P=M∪N，則（ ）。

A.一定有C∩P=C B.一定有C∩P=P

C.一定有C∩P=C∪P D.一定有C∩P=∮

解：如圖1所示，M=A∩C，N=B∩C，P=M∪N

則必有M∪N?哿C，即P?哿C

故C∩P=P，答案選B。

解析：對于涉及集合個數或未知元素的抽象集合，在研究其關系或運算時，常可考慮用韋恩圖來求解。

二、化歸與轉化思想

化歸就是在處理數學問題時，通過某種變換或化歸，把復雜問題簡單化，把陌生的問題轉化為熟悉的問題，從而解決原問題；等價轉化思想就是在解答問題時，需要轉化所給定的條件。

例2.已知集合A={x|x2-5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且A∪B=A則實數m組成的集合是_______。

解:A={x|x2-5x+6=}={2，3}

∵A∪B=A?坩?圯B是A的子集

又∵B={x|mx+1=0}

∴B是A的真子集

∴B=Ф，或B={2}，或B={3}

當B=Ф時，m=0

當B={2}時，2m+1=0解得m=-■

當B={3}時，3m+1=0解得m=-■

∴m的值組成的集合是{0，-■，-■}

解析：在處理集合問題時，我們經常需要將文字語言、符號語言、圖形語言進行轉化。轉化在高中數學中用得很多，如把問題轉化為二次函數、一元次方程根的分布、不等式（組）、最值等問題。

三、分類討論思想

分類討論思想是一種重要的數學思想，也是一種基本的解題策略。通過分類討論、各個擊破的解題手段，使問題變得條理清晰、層次分明、易于解決。

例3.設集合A={y|y=x2-2x+4，x∈R}，B={y|y=ax2-2x+4a，x∈R}若A?哿B，求實數a的取值范圍。

解：由y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3得A={y|y≥3}

在集合B中，y=ax2=2x+4a，x∈R

（1）當a=0時，y=-2x，則B=R，滿足A?哿B

（2）當a≠0時，y=a(x-■)2+4a-■

①若a＜0，則B={y|y≤4a-■，a＜0}，這與A?哿B矛盾。

②若a＞0，則B={y|y≥4a-■，a＞0}，為使A?哿B，只要4a-■≤3即可，從而可得0＜a≤1。

解析：分類討論是解決集合問題的常用方法。在分類時，必須統一標準，做到不重不漏。在教學時，教師也應多強調，對含參數的題目，可能都要分類討論。

（作者單位：江西省上猶縣第二中學）