初中數學概念教學淺議

摘要：數學概念是數學知識體系的基礎，學習數學是從學習概念開始的，在概念教學中可采用多種方法，切實做好概念的引入；重視概念的理解，發展思維；重視概念的運用，拓展思維。

關鍵詞：數學概念；引入；思維

數學概念是數學科學知識體系的基礎，與數學命題、數學語言以及由其內容所反映出來的數學思想方法組成了數學知識體系，數學概念是這個知識體系中的細胞，是數學命題及數學推理的基礎，是數學思維得以進行的“語言”，正確理解數學概念是掌握數學知識的前提，因此可以說數學學習的真正開始是對數學概念的學習，華羅庚指出：“新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要，”新課標提出在教學中要“關注概念的實際背景與形成過程”，許多概念都要求在現實情境中去理解，且重要的數學概念“宜體現螺旋上升的原則”，努力使學生能夠親近數學，從而幫助學生形成數感和符號感，然而仍有部分教師在實踐數學新課程的過程中，受以往教學觀念的影響，往往存在著“重解題技巧教學，輕數學概念教學”的思想傾向，對數學概念的教學重視不夠，導致許多學生總是感到數學概念模糊，并且因概念問題而影響到總體成績，那么，該如何做好初中數學概念的教學呢？僅通過此文，談談筆者的認識。

切實做好概念的引入

引入數學概念是理解和運用數學概念的前提這一步走得如何，對學生能否學好數學概念起著關鍵的作用，在實際教學中，我們常用的引入方法有如下幾種。

1.用現實模型進行概念引入

有些數學概念是從它的現實模型中直接反映得來的，因此，在進行這類概念教學時，應密切聯系概念的現實模型，獲得對于所研究對象的感性認識，在此基礎上逐步認識它的本質屬性，并提出概念的定義，這時應就地取材，以學生比較熟悉的事物為宜，“數學源于現實，也必須寓于現實，并且用于現實”，這是著名的數學家、數學教育家弗賴登塔爾“數學現實”思想的基本出發點，他主張把客觀現實的材料和數學知識融為一體，使數學教學過程經歷從現實背景中抽象出數學知識的全過程，著重于學生能力的培養。

例如，幾何中的點、線、面、體都是從物體的形狀、位置、大小關系等具體形象抽象概括得來的，又如，“射線”可用手電筒或探照燈射出的光束來引入，“平面直角坐標系”可用電影票上的排號和座位號來引入，三角函數的概念可以借助于解決建揚水站鋪設水管的實際問題模型引入，數軸的概念課借助于溫度計引入，又如學習函數概念時，不應該只關注對其表達式、自變量和函數值的討論，而更應該通過選取具體實例，使學生體會函數能夠反映實際事物的變化規律，波利亞認為，數學學習的最佳動機是對數學知識的內在興趣，這里可通過學生熟悉的汽車做勻速運動時的行程問題來加以說明，初步認識函數的相關知識，進而體會函數思想。

由實例引入概念，突出生活化思想，符合學生的認識規律，并且給學生留下的印象比較深刻、持久，“生活離不開數學，數學被鑲嵌在生活中，”學生所獲得的數學概念是從客觀現實中抽象出來的，豐富了學生的感性認識，既有助于學生更好地理解數學概念，又有助于學生領會學習數學概念的目的和意義，從而激發他們學習的主動性和積極性，并能對學生進行辯證唯物主義觀點的教育，同時由于貼近學生的數學現實，與學生的生活實際相聯系，使學生感受到數學學習的意義，可極大地調動學生的熱情，這也符合“數學要回歸學生的生活世界”的課改精神。

2.在學生原有概念的基礎上引入新概念

我們知道，概念的外延有大小之分，外延大的叫做屬概念，外延小的則叫做種概念，要想給某一概念下定義，首先應先向學生指出與被定義的概念最鄰近的屬概念是什么。再緊接著指出被定義概念的種差，即被定義的概念=最鄰近的屬概念+種差，如菱形，我們可以定義為：菱形=平行四邊形+有一組鄰邊相等，再如，矩形可定義為：矩形=平行四邊形+有一個角是直角，也可以定義為：矩形=平行四邊形+兩條對角線相等，矩形的這兩個定義是等價的，同樣，在學習了“等式”之后就可以給出“方程”的定義：在學習了“線段”的定義之后，可介紹圓的“弦”和“直徑”等概念，加涅的學習層次理論指出，“學習是累積性的，”這樣，隨著知識的增加，新的知識不斷地被納入到學生已有的認知結構中去，利用同化的方式不斷地獲取新的概念，形成概念系統，從而使學生深入地了解概念，并牢固地掌握概念。

3.用類比的方法引入概念

類比是合情推理的重要形式之一。是根據兩個或“兩類”對象之間有部分屬性相同，從而推出它們在其他方面的某種屬性也可能相同的一種邏輯推理的方法，它是從特殊到特殊的推理，其特點是利用某些客觀事物間的類似性，以對一個系統的研究作為獲得關于另一個系統的信息的手段。通過對舊知識的回憶類比，給學生創設“最近發展區”，從而進行新知的學習，波利亞曾指出，“類比是一個偉大的引路人，”因此，類比既是一種非常重要的思維形式，又是引入概念的一種重要方法。

我們知道，初中數學概念大都是建立在原有的小學數學概念的基礎上的，無論從內容上、知識結構上。還是從研究思路和表現手法上，都有許多類似之處，這給運用類比教學提供了很好的條件，如數式通性，分式可通過類比分數來學習其概念及運算，便可水到渠成，在學生學習一元二次方程概念時，可以類比于一元一次方程的概念進行，理解概念的特征，強調整式方程的特征，從而避免將x²-1/x=0也視為一元二次方程的錯誤。

4.從數學本身的內在需要引入概念

從數學本身的內在需要出發引入概念也是引入數學概念的常用方法之一，這樣的例子比比皆是。

例如，在數系的擴充過程中，為什么要引入負數？我們可以解釋成為表示相反意義的量。或者說是運算的需要，不夠減時引入負數，隨著學習的深入，后來有理數也不能滿足需要了，如求邊長為1的正方形的對角線的長度，在解方程2就沒有有理數解。但它的解卻是客觀存在的，為了解決類似這樣的問題，必須引入無理數，從而把數的概念擴展到了實數，以后數的領域會繼續擴大到復數，這都是因為數學自身的需要。

又如，為了使同底數冪的除法性質在被除式的指數等于除式的指數時也能適用，我們把“零指數”的概念規定為a^{0=1（a≠0），需要注意的是，這里所作的規定，不是主觀臆造的，而是以符合客觀數學規律為前提的，我們應“感受這個‘規定’的合理性，并在這個過程中學會數學思考，感悟理性精神”。}

5.通過創設情境引入數學概念

教學情境，曾被簡化為“一組刺激”，是教師為了發展學生的心理機能，通過現實的、有趣的、富有挑戰性的問題進行有意義的數學活動來增強教學效果而創設的教學環境，教育家杜威認為：“思維起源于直接經驗的情境，”數學教育家張孝達說：“研究開始于問題，問題產生于情境，”情境教學是將情境作為一個心理場，一個整體，作用于學生的意識，師生的情緒貫穿于教學過程，不但可以激發學生的求知、求真。而且更可以用來激發美感，陶冶情操，引導學生追求真善美，思維自疑問開始，并可在一定的情境下誘發，因此，在數學概念的引入中，教師要善于創設情境，

例如，學習乘方時可由“棋盤上的故事”引出概念：介紹平面直角坐標系時。可由笛卡兒的故事說起，由于學生往往對歷史故事和歷史人物感興趣，在教學中結合概念適當引入一些數學史、數學家的故事，可激發學生的學習熱情，增添數學的課堂活力。

心理學家認為，學生自己動手做實驗，因強烈的直觀性，更能夠在腦海中留下更深刻的印象，弗賴登塔爾說：“學一個活動的最好方法是做，”因此，我們也可以創設實驗情境來引出數學概念，如圓的集合概念的教學中，可以讓學生動手操作，要通過情境活動的創設，使學生在課堂中能充分地參與活動，在活動中更好地理解重要的數學概念和方法。

重視概念的理解，發散思維

概念的理解是概念教學的中心環節，概念的獲得是學生經過分析、綜合、比較、抽象、概括的結果，只有在導入概念后。引導學生主動探索。激發學生的思維，這樣才能做到真正的理解概念，在教學過程中，教師要善于啟發學生去發現、探究新概念，提高學生學習數學的興趣，而概念的形成過程，應根據學生自己的體驗，用自己的思維方式，重新創造出有關的數學知識，這對學生理解概念非常有意義的，誠如一位數學家所說：“一堆沒有親身體驗和視覺形象所支持的概念、定義不能開發智力，而只能關閉思路，”在概念的再創造過程中。應對學生的思維給予暴露的機會，充分經歷概念的形成過程，從具體到抽象。再從抽象到具體，從而有利于學生對概念的自我意識和自我反省，理解和掌握數學概念。

1.準確揭示概念的內涵與本質

概念的內涵與外延是概念的基本特征，內涵是概念所反映的事物的本質屬性的總和：外延是概念所反映的事物的總和，內涵和外延是不可分割的兩部分，揭示概念的內涵就不能不涉及概念的外延，挖掘概念的內涵與外延，抓住概念的本質，使學生不僅知其然，更要知其所以然，如正弦這個數學概念，涉及比的定義、角的大小、點的坐標、距離公式、相似三角形、函數概念等知識，正弦的值本質上是一個“比值”，為了突出這個比值，可引導學生對正弦概念的本質屬性分析，掌握其內涵和外延，理解概念。

2.嘗試錯誤

嘗試錯誤指在學生從正面接觸概念后，教師從概念的反面有針對性地創設一種錯誤的情境，引導學生深入到這種特定的情境中，運用已有的知識和經驗去分析錯誤，去嘗試矯正，心理學家蓋耶曾說：“誰不愿意嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤。誰就將錯過最富有成效的學習時刻。”

例題：下列滿足兩根之和為2的方程為（ ）

A.x²-2x+4=0 B.2x²+4x+3=0

C.x²-4x-5=0 D.x²-2x-2=0

很多學生誤選A，究其錯誤原因，主要是由于沒有考慮到方程是否有實根的條件，對一元二次方程的實數根的理解尚待加強，當代科學家波普爾曾指出：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素，”教師通過引導學生先走進自己所設計的圈套，然后促使學生去找錯、糾錯，這樣更有利于學生對概念的理解，讓學生在反思中提高對數學概念的理解程度。

重視概念的運用，拓展思維

概念的形成是一個由個別到一般的過程，而概念的運用則是一個由一般到個別的過程，它們是學生掌握概念的兩個階段，通過運用概念，可以加深、豐富和鞏固學生對數學概念的掌握，并且在概念運用過程中也有利于培養學生思維的深刻性、靈活性。創造性。

概念建立后，可以針對學生的疑點與難點，設計靈活多樣的練習，對學生進行訓練，從而達到熟練運用概念的目的，練習設計時首先目的要明確，在練習時必須明確每項練習的目的，使每項練習都應突出重點，充分體現練習的意圖，使練習真正有助于學生理解新學概念，有利于發展學生的思維，如為了幫助學生鞏固新學概念和形成基本技能，教師可以設計針對性練習：為了幫助學生克服定式的干擾，進一步明確概念的內涵和外延，教師可以設計變式練習：為了幫助學生分清容易混淆的概念，教師可以設計對比練習等，其次，練習的層次要清楚，學生認識事物需要逐步深化和提高，因此練習時要按照由簡到繁、由易到難、由淺入深的原則，逐步加深練習的難度。

如學習了“線段”概念后，學生已掌握了數線段的規律，并明白在直線上有n個點。可得到1/2n（n-1）條線段，教師然后提出“若我們每組4名同學，每兩人都握一次手，共握幾次手？若5名同學呢？n名呢？在這些基礎上。你還能聯想到什么？”在大家的討論交流中，聯想到了實際生活中的循環比賽，平面上的n個點可確定的線段、射線。平面上n條直線兩兩相交的交點個數，還聯想到角的數法：又如學了三角形的內切圓后，如何幫助工人從一塊三角形的余料中截取一個面積最大的圓等，這是讓學生用學到的數學概念解決日常生活中的實際問題，是概念教學中培養創新思維的有力手段。

綜上所述，在數學概念的教學中，教師應設計好引入，引導學生共同參與，應用多種方式來揭示概念的形成、發展和應用的過程，完善學生的認知結構，發展學生的思維能力，提高學生學習數學的興趣，讓數學概念與學生的思維產生共鳴，我們的學生就會真正懂得數學學習的價值，從而提高我們的數學教學。