基于有限域的多進制LDPC碼的編碼算法研究

LDPC（Low Density Parity Check）碼作為一種高效的線性分組糾錯碼，最初由Gallager發現，故亦稱Gallager碼。當時由于計算機處理能力較差，相關理論基礎也比較薄弱，該線性分組碼沒有引起人們的重視。直到1996年，MacKay和Neal重新發現了它，并證明它在運用BP（Belief-Propagation）算法譯碼時具有逼近Shannon限的性能。對于二元輸入的AWGN信道，當碼長為107，R=1/2時，在BPSK調制下的性能距Shannon限只差0.0045dB，是目前距Shannon限最近的糾錯碼。

多進制LDPC碼作為LDPC碼的一種特殊形式，有實驗表明，多進制LDPC碼的誤比特率性能優于二進制LDPC碼，其抗突發錯誤能力相比二進制LDPC碼也有較大程度的改善，尤其適用于衛星通信。雖然與二進制LDPC碼相比，多進制LDPC碼有上述優勢，但是它也存在自己的缺點，即計算復雜度遠遠大于二進制LDPC碼。為解決這一難題，本文提出一種低復雜度的多進制LDPC碼的編碼算法。

令啄是GF（q）的非零元素，那么琢啄的位置矢量z（琢啄）是啄的位置矢量z（啄）的右循環移一位。構成一個GF（q）上的（q-1）×（q-1）矩陣A，以啄，琢啄，琢2啄，…，琢q-2啄的位置矢量作為行。這樣A是一個循環置換矩陣，其每一行是由上面一行右循環移位得到，第一行是最下面一行右循環移位得到。A被稱為域元素啄的二維q-1對折散布矩陣。很明顯，0元素的散布矩陣是（q-1）×（q-1）的全0矩陣。

把大小為（q-1）×（q-1）的循環置換矩陣作為Hd的子矩陣，如式（1）所示：

以下分別對不同碼長、不同有限域的碼字進行MATLAB仿真，同時將多個仿真結果的誤比特性能進行比較。首先分別構造具有準循環結構的信息位矩陣，具體參數如下：①m=252，n=504，q=64；②m=378，n=756，q=64；③m=762，n=1524，q=128；④m=1016，n=2032，q=128；校驗位矩陣部分采用雙對角線結構；其次對其采用差分編碼方法；最后在高斯信道下，采用BPSK調制，BP譯碼算法，譯碼迭代次數取100。不同碼長、不同有限域的LDPC碼誤比特性能的比較如圖1所示。

仿真結果顯示，當誤比特率為10-3時，基于GF（64）的（378，756）LDPC碼的信噪比優于（252，504）LDPC碼0.1dB，當誤比特率為10-5時，基于GF（128）的（1016，2032）LDPC碼的信噪比優于（762，1524）LDPC碼0.15dB。這樣的結果表明，在一定的碼長范圍內下，基于同一有限域的LDPC碼長碼要比短碼的性能略優。

4結論

本文介紹了一種基于有限域構造LDPC校驗矩陣的方法，信息位矩陣采用準循環構造方法，校驗位矩陣采用雙對角線結構，在信息位矩陣的構造中，提出一種利用等差數列確定指數矩陣的方法，運用此方法構造出的LDPC碼不存在4環。仿真結果表明了多進制LDPC碼性能的優異，信噪比在2.5dB時，基于GF（128）的（762，1524）碼和（1016，2032）碼的誤比特率可達到10-5以下。但是，本文的算法也有一定的局限性，即碼長的大小要與有限域相匹配，不能夠隨意取值，這是本文算法還有待改進的地方。