重組CPFS結構，增加網絡結點，提高解題能力

【關鍵詞】CPFS結構 網絡結點 解題能力 二次函數應用題

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2012）09B-0020-02

一、CPFS結構

南京師范大學喻平、單墫教授認為，數學學習心理中的CPFS結構恰當與否，是學生學習了一個命題，特別是一組命題后，是否會靈活應用這些命題的一個主要因素。如果學生正確理解了一個命題或命題組，他會在頭腦中建立一個正確、良好的CPFS結構；但如果這個結構中有一個命題或結點聯結不正確或不透徹，則會影響這一組命題，以及相關的另一組命題的學習。他們把這一連串具有相關特征的命題，稱為概念域，并提出了概念系理論。

概念域：一個概念C的所有等價定義的圖式，叫做概念C的概念域。具體地說，一個概念C如果具有某些等價定義（知識），那么這些等價定義會在學生頭腦中形成知識網絡。每一個等價定義都是對概念C的描述、定義和解釋，這些等價定義可以從不同的角度、不同的突破點對概念C的內涵進行表征，使概念C在學生頭腦中呈現多種表征方式。由于不同的表征利于喜歡不同表征特點的學生對概念C進行理解、轉化，因此能使學生對概念C的表征轉化更多方位、多角度、深層次，能豐富、鞏固概念C在學生頭腦中與其他知識概念之間聯系的強度，使得學生的知識網絡更緊密。

概念鏈：如果一組概念C1，C2，…，Cn存在關系：C1 R1 C2 R2…Rn-1 Cn （*），其中Ri（i=1，2，…，n）表示強抽象、弱抽象、廣義抽象這3種數學關系中的任意一種，那么稱（*）為一條概念鏈，記為λ={C1，C2，…Cn}。

概念系：如果兩條概念鏈之間有交集，則稱這兩條鏈相交。如果m條概念鏈中至少有一條與其余的概念鏈都相交，那么稱這m條概念鏈的圖式為概念系。概念系是個體頭腦中形成的概念網格。

由概念域（系）推廣，可得出類似的命題域與命題系理論。

命題域：由若干等價命題組成，同概念域一樣，這些等價命題的表征特點各有不同，利于有各種不同思維特點的學生吸收。

命題系：同概念域類似，命題域是命題系的子圖式。

概念域、概念系、命題域、命題系形成的結構稱為CPFS結構。

CPFS結構的組成元素有：（1）數學知識，包括概念和命題兩種形式的知識。學生將這些基本的概念和命題內化吸收后，根據它們不同的特點，將它們分布在CPFS結構中的各個位置，形成一些基本的分散的點狀圖；（2）知識結構圖。學生的頭腦，能根據已被吸收的概念、命題的表征特點，尋找它們相互之間的聯系，即各種抽象關系（強抽象關系或弱抽象關系），根據這些關系將分散的概念（命題）點相互聯結起來，形成一個網狀的知識結構圖。一個良好的CPFS結構圖，不僅要有準確的基本知識點，還要有豐富的、緊密聯結各基本知識點的抽象關系。這些抽象關系中包含了對知識特征的理解。

如果學生頭腦中CPFS結構的域廣系寬、鏈多結密，在解決問題時，學生就能夠較容易地通過抽象關系在結點中提取核心命題，從而解決問題。但由于抽象關系是不明顯的，所以如果學生沒有形成完善的命題域和命題系，CPFS結構疏松、結點少、鏈條稀，那么在解決問題時，他們就不能及時、有效地在命題域或命題系中調用適當的模式，從而使欲解決的問題難度加大，或者無法解決問題。事實上，在一組等價命題中選出某些命題去解決不同的問題，理論上說是等價的，但解題的難度卻大相徑庭，這和結點是否豐富關系極大。

二、二次函數應用題的CPFS教學分析

在教學二次函數的定義、圖像與性質之后，二次函數應用題是教學的重點，也是學生學習的難點。在義務教育課程標準實驗教科書（人教版）2009年版的《實際問題與二次函數》一節中，提出了三個典型例題：

1．（利潤問題）某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件。市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件。已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？

2.（圖形問題）計算機把數據存儲在磁盤上，磁盤是帶有磁性物質的圓盤，磁盤上有一些同心圓軌道，叫做磁道。現有一張半徑為45mm的磁盤。

（1）磁盤最內磁道的半徑為r mm，其上每0.015mm的弧長為1個存儲單元，這條磁道有多少個存儲單元？

（2）磁盤上各磁道之間的寬度必須不小于0.3mm，磁盤的外圓周不是磁道，這張磁盤上最多有多少條磁道？

（3）如果各磁道的存儲單元數目與最內磁道相同，最內磁道的半徑r是多少時，磁盤的存儲量最大？

3.（橋拱問題）下圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2m，水面寬4m。水面下降1m時，水面寬度增加多少？

以上例題中，第1、3題為二次函數的典型例題。一般教師遵照課本進行教學，講解典型例題，拓展典型范圍，讓學生見多識廣，以增加學生的知識網絡范圍和網絡結點，增強學生的理解能力和解題能力。大部分學生在學習了典型例題之后，能根據老師所教授的典型題的解題過程模仿做題。但筆者發現，對于很多學生而言，做類似的題目行，做變式的題目就束手無策了；做練習的時候行，考試的時候就不會做了。

根據CPFS結構理論去分析這一現象：在常規教學下，學生能根據教師教授的知識，存儲相應的概念、命題，能按題目的屬性歸類，形成相關的二次函數知識網絡，編排圖式；但在學生的二次函數應用題這一部分知識網絡中，許多學生的學習為平行式學習，雖然有圖式，但結點少。通俗地講，就是學一題做一題，變式及強抽象（歸類）的能力較差，以致考試時不會做。

以上分析證明了“在一組等價命題中選出某些命題去解決不同的問題，理論上說是等價的，但解題的難度卻大相徑庭”。

可見，教師如果只是平行地教授某幾種題目的解題，那么學生學會的解題也只是“依葫蘆畫瓢”，沒有綜合，沒有歸納，圖式沒有網絡，CPFS結構中沒有結點。這樣學生的考試成績就上不去，怎么辦？如何增加網絡中的結點？如何使平行式的網絡圖式相互聯系？教師應當如何教學，才能使學生頭腦中的CPFS結構更加緊密？二次函數應用題涉及范圍廣、類型多，如何教學才能增強學生對二次函數的理解，使學生的應用更加熟練？特別是上復習課時，怎樣才能在有限的課時中使二次函數應用題的歸納、分析更全面、有效？為了解決這些問題，筆者在實際教學中，對二次函數應用題進行與以往不同的分類法復習。

常規復習跳繩問題、球類飛行問題、橋拱類建筑問題、面積或利潤最大問題等典型例題。

常規學習下的個體CPFS結構為：

λ1={繩索問題1?繩索問題2?…?繩索問題n}，

λ2={球類問題1?球類問題2?…?球類問題n}，

λ3={建筑問題1?建筑問題2?…?建筑問題n}，

λ4={面積最大問題1?面積最大問題2?…?面積最大問題n}，

λ5={利潤最大問題1?利潤最大問題2?…?利潤最大問題n}。

在這幾條命題鏈中，每條命題鏈的第1個命題均為本命題鏈的典型命題，課本編排的例題就是給出這些典型命題，讓教師在教學過程中將其進行拓展。一般地，我們可以根據若干問題的典型命題，在同命題鏈中進行拓展教學，加大命題鏈的長度，但這些命題鏈之間是否有非空交集呢？如果m條命題鏈中的每一條都至少與其他的一條相交，那么稱這m條鏈組成的系統為半等價命題網絡。一個半等價命題網絡的圖式是一個命題系。如果能在這些命題鏈之間尋找到一條與之都相關的鏈，使之成為一個命題系，那么學生頭腦中的網絡強度必將大大增加，以上這幾條命題鏈相互之間就存在著與之都相交的命題鏈。

ω（拋物線型問題）={λ1，λ2，λ3}，

ω（二次數據/非拋物線型問題）={λ4，λ5}。

也就是說，我們可以把所有的二次函數應用題，分類為拋物線型問題與非拋物線型問題（如課本例題3）。具體的拋物線型的應用問題可用以下口訣來概括：

門洞、橋拱和隧道，

籃球、足球乒乓球，

繩子會不會打到頭。

其他的是題中沒有出現拋物線，但在數據分析計算中，變量間出現二次函數關系的問題（如課本例題1、2）。對這些題也可以編排出以下口訣：

周長不變面積變，

固定形狀求面積；

銷售利潤有技巧，

如何定價才最高？

當我們如此重組了二次函數應用題的題目類型之后，大量的二次函數應用題即被歸納到兩條命題鏈中，形成命題系。在這些命題系中，我們又可以再次抽象出較強的數學關系，再從抽象的數學關系中尋找到聯結的數學方法。學生從不同的角度、不同的背景再去理解同一個命題、概念，便加強了命題鏈之間的聯結，有效地完善了命題系，提高了在命題系中調用方法、模式的速度，從而提高了解題能力。

三、小結

由于年齡、經驗、時間、能力的關系，只有少數學生能在學習的概念、命題中主動建構CPFS結構，他們的概念系、命題系之間及其內部的網絡聯結，有自然生成的部分，但更多的是由教師教學引導生成的部分。教師如何教學才能使學生的CPFS結構域更加廣闊，使其中的結點聯結更緊密，使弱抽象關系過渡為強抽象關系……這些都是教師需要在實踐過程中探討的問題。所有的教學、研究都離不開學生的實際學習，所有的教學、研究結果都要應用在學生的實際學習中。CPFS結構理論已是較成熟的教學理論，本文談的只是它在一個教學環節中的應用，還有更多的相關教學問題，等待我們去思考、探究。

（責編 王學軍）