巧解競賽題

摘要：本篇論文詳解了江蘇省金鑰匙科技競賽團體決賽中的一道競賽題。

關(guān)鍵詞：金鑰匙科技競賽； 巧解； 競賽題

中圖分類號：G634.7 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2012）09-101-001

金鑰匙科技競賽已經(jīng)多年被列入江蘇省中小學生競賽活動項目中，每屆都有100多萬名選手參加。在它的團體決賽中，有這么一道競賽題：

有O1、O2、O3、O44個相同的圓柱體，軸心在一直線上排列且固定不動。另有一個與它們相同的圓柱體OA，開始時亦與它們排列在同一直線上，圓柱體OA可以滾動，它依次滾過4個圓柱體，到達O4的右側(cè)，如圖1所示。

問：在此過程中，圓柱體OA繞自己的軸心轉(zhuǎn)過多少圈？

該問題運用物理概念來解，思路會顯得清晰些。將這5個圓柱體簡化成5個圓，圓OA在諸圓上的滾動，可以看成是圓心OA的平動加上圓OA繞自己圓心的轉(zhuǎn)動。前者可以稱之為公轉(zhuǎn)，后者稱之為自轉(zhuǎn)。

1．自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)的關(guān)系

如圖2，以第一個圓O1為例，當圓OA滾上圓O1時，圓OA邊緣上任意一點N的速度，應為圓心OA的線速度與繞OA做圓運動的線速度之和。設(shè)公轉(zhuǎn)的角速度為?棕1、自轉(zhuǎn)的角速度為?棕2；公轉(zhuǎn)半徑為2r、自轉(zhuǎn)半徑為r。根據(jù)題設(shè)條件，圓OA在諸圓上的運動為“只滾不滑”，圓OA邊緣上任意一點N的瞬時速度應為零。

如圖3所示，在圓上畫一箭頭OAM，在圓OA?賺、O1上畫上相應的點1、1''；2、2''；3、3''。開始時兩圓在1、1''，處相切；公轉(zhuǎn)90°后，在2、2''，處相切，此時箭頭轉(zhuǎn)了180°；公轉(zhuǎn)180°后，在3、3''處相切，此時箭頭轉(zhuǎn)了360°。可見，自轉(zhuǎn)角度是公轉(zhuǎn)角度的2倍。

2．公轉(zhuǎn)角度

圓OA依次滾過4個圓，是沿一段段圓弧運動的。圓OA繞O1公轉(zhuǎn)，必須轉(zhuǎn)到與O1、O2同時相切的位置后，才能離開O1繞O2公轉(zhuǎn)，即轉(zhuǎn)過120°；再轉(zhuǎn)到同時與O2、O3相切的位置后，才能離開O2繞O3公轉(zhuǎn)，即轉(zhuǎn)過60°……以此類推，在整個過程中，公轉(zhuǎn)的角度依次為：120°、60°、60°、120°，和為360°，如圖4所示。

3．自轉(zhuǎn)角度

根據(jù)自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)的關(guān)系，自轉(zhuǎn)角度為公轉(zhuǎn)角度的2倍。則此題的答案為：360°×2=720°，即2圈。

4．應用

若OA、O1半徑不等，O1的半徑為2r，如圖5所示。根據(jù)同樣的道理：

由此得到一個普適的公式：當兩輪半徑之比為n時，自轉(zhuǎn)的角速度是公轉(zhuǎn)角速度的n+1倍，

這種既有公轉(zhuǎn)又有自轉(zhuǎn)的結(jié)構(gòu)及其原理多用于變速箱內(nèi)，稱之為行星齒輪結(jié)構(gòu)。用不同半徑（齒數(shù)）的齒輪互相搭配，以獲得不同的轉(zhuǎn)速。