圖形巧變我妙解

在初中幾何的學(xué)習(xí)中，幾何圖形的變換是我們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)也是亮點(diǎn).往往在圖形的巧妙變化中，在解決這些變化的思考過程和美妙體驗(yàn)中，蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)技巧和方法才會(huì)逐步顯現(xiàn)其真面目，同時(shí)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)才會(huì)得到升華，數(shù)學(xué)之美才會(huì)得以充分展現(xiàn). 下面我們舉例說明.

試題1 ？藎 已知AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），DE⊥AB，CH⊥AB，DF⊥AC，點(diǎn)E，F(xiàn)，H是垂足.

（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)D是BC中點(diǎn)時(shí)，你認(rèn)為線段ED，DF，CH的數(shù)量關(guān)系是______________.

（2）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)D是BC上非中點(diǎn)的任意一點(diǎn)時(shí)，線段ED，DF，CH的數(shù)量關(guān)系是什么？說明你的理由.

（3）如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，線段ED，DF，CH的數(shù)量關(guān)系是什么？說明你的理由.

技巧呈現(xiàn) （1）觀察可得ED=DF=CH. 可用三角形面積公式驗(yàn)證，即連結(jié)AD，則S△ABC=S△ABD=S△ACD . 代入三個(gè)三角形的底和高即可得到結(jié)論. 也可以用三角形全等和三角形中位線定理來證明.

（2）當(dāng)點(diǎn)D是BC上非中點(diǎn)的任意一點(diǎn)時(shí)，（1）小題結(jié)論中的線段ED=DF明顯已經(jīng)不成立，但ED+DF的和似乎沒變，可以猜測(cè)并論證ED+DF=CH. 仿照（1）小題的解法，連結(jié)AD，那么S△ABC=S△ABD+S△ACD .代入三個(gè)三角形的底和高，而三個(gè)三角形的底相等，即可得到結(jié)論.

（3）觀察圖3會(huì)發(fā)現(xiàn)ED，DF，CH的長(zhǎng)短關(guān)系發(fā)生了變化，觀察猜想可得數(shù)量關(guān)系ED-DF=CH. 延續(xù)（2）小題的解題思路，可以連結(jié)AD（如圖5所示），那么S△ABC=S△ABD-S△ACD .代入三個(gè)三角形的底和高，而三個(gè)三角形的底相等，即可得到結(jié)論.

參考答案 （1）ED=DF=CH.

（2）如圖4所示，連結(jié)AD，那么S△ABC=S△ABD+S△ACD . 因?yàn)镈E⊥AB，CH⊥AB，DF⊥AC，所以AB·CH=AB·DE+AC·DF. 因?yàn)锳B=AC，所以AB·CH=AB·DE+AB·DF=AB（DE+DF）. 所以ED+DF=CH.

（3）如圖5所示，連結(jié)AD，則S△ABC=S△ABD-S△ACD .

因?yàn)镈E⊥AB，CH⊥AB，DF⊥AC，所以AB·CH=AB·DE-AC·DF.

因?yàn)锳B=AC，所以AB·CH=AB·DE-AB·DF=AB（DE-DF）. 所以ED-DF=CH.

畫龍點(diǎn)睛 此題的圖形變換“巧”，“巧”在點(diǎn)D在等腰三角形的底邊運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生了不同的圖形，產(chǎn)生了不同的三條高的數(shù)量關(guān)系，而我們的解法則“妙”，“妙”在三種變化得出的三條高的數(shù)量關(guān)系都可以用同一種方法解決，簡(jiǎn)捷清楚，同時(shí)，也學(xué)會(huì)了解決多“高”問題的常用數(shù)學(xué)方法：面積法.

試題2 ？藎 把一個(gè)正方形分割成全等的四部分，除了圖6提供的三種方法，請(qǐng)?jiān)趫D7和圖8中畫出其他兩種.

技巧呈現(xiàn) 觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)圖6中的后兩個(gè)圖都是兩條經(jīng)過正方形中心的垂直直線分割出來的，那是不是還可以利用這兩條直線，繼續(xù)圍繞正方形中心旋轉(zhuǎn)得到新的答案呢？不難發(fā)現(xiàn)這兩條垂足在正方形中心的垂直直線，旋轉(zhuǎn)到任何一個(gè)角度，都會(huì)把正方形分割成全等的四部分，而且，兩條線不一定都是直線，只要把任意一條過中心的曲線圍繞正方形中心旋轉(zhuǎn)90°，得到的曲線再圍繞正方形中心旋轉(zhuǎn)90°旋轉(zhuǎn)三次，就會(huì)把正方形分割成全等的四部分.

參考答案 如圖9、圖10所示.

畫龍點(diǎn)睛 ？搖題目“巧”在蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)技巧和方法是我們平時(shí)沒有深挖過的，我們的解答則“妙”在沒有敷衍了事，而是找到了解決此類題目的根源：如果是圍繞中心進(jìn)行n°旋轉(zhuǎn)，就可以與原圖重合的正邊形，只要任意曲線圍繞正邊形中心旋轉(zhuǎn)-1次，每次旋轉(zhuǎn)n°，都會(huì)把正邊形分割成全等的部分.

試題3 ？藎 （1）如圖11所示，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC，求∠AEB的大小.

（2）如圖12所示，△OAB固定不動(dòng)，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（△OAB和△OCD不能重疊），求∠AEB的大小.

（3）如圖13所示，（2）小題中的△OAB固定不動(dòng)，△OCD變大，保持△OCD的形狀不變，將△OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（△OAB和△OCD不能重疊），求∠AEB的大小.

技巧呈現(xiàn) （1）小題解答要容易一些，因?yàn)橐渣c(diǎn)O為頂點(diǎn)的∠AOB=∠COB=∠COD=60°，

所以等腰三角形BOD和等腰三角形AOC的兩底角都是（180°-120°）=30°.

∠AEB作為△AED的外角，等于∠ADB+∠CAD=60°或因?yàn)椤螦EB+∠EBO=∠AOB+∠EAO，所以∠AEB=∠AOB=60°.

（2）小題和（1）小題的條件相比，∠COB的度數(shù)發(fā)生了變化，但仍有等腰三角形BOD和等腰三角形AOC，而且這兩個(gè)等腰三角形仍然全等，所以∠EBO=∠EAO.

又因?yàn)椤螦EB+∠EBO=∠AOB+∠EAO，所以∠AEB=∠AOB=60°.

（3）小題和（2）小題的條件相比，△BOD和△AOC已經(jīng)不再等腰，但這兩個(gè)三角形仍然全等，所以仍然有∠EBO=∠EAO.

而∠AEB+∠EBO=∠AOB+∠EAO，所以∠AEB=∠AOB=60°.

參考答案 （1）∠AEB=60°.

（2）∠AEB=60°.

（3）因?yàn)樵诘冗吶切蜲AB和等邊三角形OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠ BOD=∠AOC.

所以△BOD≌△AOC.

所以∠EBO=∠EAO.

因?yàn)椤螦EB+∠EBO=∠AOB+∠EAO，所以∠AEB=∠AOB=60°.

畫龍點(diǎn)睛 對(duì)于本題，如果我們巧妙地抓住了此題圖形變換中始終不變的全等三角形OAC和OBD，那么，圖形怎么變化都在我們的掌握之中.