圖形旋轉面面觀

圖形的旋轉是幾何圖形運動中的重要變換，許多問題可以通過旋轉使原本分散的、互不聯系的條件有聯系，從而找到解決問題的突破口，因此，圖形的旋轉是初中數學的重要內容. 下面我們就從“知識的生成與知識的應用”兩大方面談一談圖形的旋轉與初中其他知識點的聯系.

旋轉與平移

1. 概念類比

平移是指在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種運動叫平移. 而旋轉的概念為：將一個圖形繞某一個定點沿某一個方向轉動一個角度，圖形的這種運動叫做旋轉.

平移的二要素為平移的方向和平移的距離，而旋轉卻有三要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度.

2. 性質類比

平移的性質：①平移前、后的圖形全等；②對應點的連線段平行（或在同一條直線上）且相等；③連結對應點的線段長度等于平移的距離.

旋轉的性質：①旋轉前、后的圖形全等；②對應點到旋轉中心的距離相等；③對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角.

3. 運用

題1？藎 如圖1所示，點D是等腰直角三角形ABC內一點，BC是斜邊，如果將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉到△ACD′的位置，則∠ADD′的度數是____.（45°. 提示：根據旋轉的定義）旋轉與平面幾何

這類問題主要考查旋轉的性質以及旋轉前后圖形之間的關系，解決這類問題關鍵要抓住圖形旋轉的特征，關注相等的角和線段，以及與其他變換的組合.

1. 求角度和線段長度

題2？藎 把一副三角板如圖2放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6，DC=7. 把三角板DCE繞點C順時針旋轉15°得到△DCE（如圖3所示），這時AB與CD交于點O，且與DE交于點F. （1）求∠OFE的度數. （2）求線段AD的長.

思路 （1）根據旋轉的方向和定義，我們知道∠BCE=15°，而∠E=90°，所以∠BGF=∠CGE=75°. 又∠B=45°，所以可求得∠OFE=∠B+∠BGF=120°.

（2）由（1）的結論，易知∠DFO=60°，而∠CDE=30°，所以∠COB=90°. 因為AC=BC，AB=6，所以OA=OB=3. 同時容易求得CO=AB=3. 而CD=7，所以OD=CD-OC=4. 在Rt△ADO中運用勾股定理可求得AD=5.

2. 求弧長

圖形的旋轉就是把某個圖形繞著某一定點轉動一個角度，其間，圖形上的點所經過的路徑可以理解為圓中的弧，旋轉中心即為圓心，所以題目中經常借圖形的旋轉來求弧長.

題3？藎 如圖4所示，一塊含有30°角的三角板ABC在水平桌面上繞點C按順時針方向旋轉到A′B′C的位置，若BC的長為15 cm，那么頂點A從開始到結束所經過的路徑長為多少？

思路 由題意知點C是旋轉中心，點A從開始到結束所經過的路徑是以點C為圓心，CA長為半徑的一段圓弧，接下來求出CA長和∠ACA′的度數即可解決問題. 在Rt△ABC中，因為∠A=30°，BC=15 cm，所以∠ACB=60°，CA=30 cm. 所以∠ACA′=120°. 根據弧長公式可求得所要求的路徑長為=20π cm.