證明題

1. 掌握全等三角形的性質(zhì)和判定定理、相似三角形的性質(zhì)和判定定理、線段的垂直平分線和角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.

2. 掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的有關(guān)性質(zhì)和常用判定方法，并能運用這些知識進(jìn)行有關(guān)的證明和計算.

3. 了解判定點和圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系的方法.掌握圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對的圓周角、圓內(nèi)接四邊形的特征，能判定一條直線是否為圓的切線.

1. 已知a，b，c為△ABC的三邊， 且滿足a2+b2+c2+50=10a+6b+8c， 試判斷△ABC為直角三角形.

2. 已知二次函數(shù)y=x2+ax+a－2.

（1）求證：不論a取何值，拋物線y=x2+ax+a－2總與x軸有兩個不同的交點.

（2）如果拋物線經(jīng)過點（4，5），求這條拋物線的解析式.

3. （2011貴州安順）如圖1，拋物線y=x2+bx－2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A（-1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo).

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論.

（3）點M（m，0）是x軸上的一個動點，當(dāng)CM+DM取得最小值時，求m的值．

4. （2010湖北十堰）如圖2，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB. 求證：BD=CE.

5. （2009四川南充）如圖3，四邊形ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，求證：AF=BF+EF．

6. （2011四川綿陽）王偉準(zhǔn)備用一段長30 m的籬笆圍成一個三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔. 已知第一條邊長為a m，由于受地勢限制，第二條邊長只能比第一條邊長的2倍多2 m.

（1）請用a表示第三條邊長.

（2）問第一條邊長可以為7 m嗎？為什么？請說明理由，并求出a的取值范圍.

（3）能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長均為整數(shù)？若能，說明你的圍法；若不能，請說明理由.

7. （2011湖南懷化）如圖4，△ABC是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40 cm，AD=30 cm，從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點G，H分別在AC，AB上，AD與HG的交點為M.

（1）求證：=.

（2）求這個矩形EFGH的周長.

8. 如圖5，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分別是∠BAC和∠BAC的外角平分線，BE⊥AE，求證：DA⊥AE.

9. 閱讀下面材料，并解決問題：

（1）如圖6，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則∠APB＝______，由于PA，PB不在一個三角形中，為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時△ACP′≌_______，這樣，就可以利用全等三角形知識將三條線段的長度轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB的度數(shù).

（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：如圖7，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F(xiàn)為BC上的點且∠EAF＝45°，求證：EF2＝BE2+FC2.

10. （2011浙江衢州）如圖8，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，過點A作AE∥BC，過點D作DE∥AB，DE與AC，AE分別交于點O，E，連結(jié)EC.

（1）求證：AD=EC.

（2）當(dāng)∠BAC=90°時，求證：四邊形ADCE是菱形. 在（2）的條件下，若AB=AO，求tan∠OAD的值.

11. （2010 廣東珠海）如圖9，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連結(jié)DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B.

（1）求證：△ADF∽△DEC.

（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的長.

12. 如圖10，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連結(jié)FC（AB＞AE），△AEF與△EFC是否相似？并說明理由．

13. （2009山東煙臺）如圖11，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，過點D作DE∥AB交∠BCD的平分線于點E，連結(jié)BE．

（1）求證：BC=CD.

（2）將△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCG，連結(jié)EG． 求證：CD垂直平分EG.

（3）延長BE交CD于點P． 求證：P是CD的中點．

14. （2008廣東深圳）如圖12，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，過點A作AE∥BD交CD的延長線于點E，且∠C＝2∠E．

（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形．

（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的長．

15. 如圖13，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點，以O(shè)為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于A，B和C，D，連結(jié)OA，此時有OA∥PE.

（1）求證：AP＝AO.

（2）若AB＝12，求tan∠OPB的值.

（3）若以圖中已標(biāo)明的點（即P，A，B，C，D，O）構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個點為_______，能構(gòu)成等腰梯形的四個點為_______或_______或_______.

16. 如圖14，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連結(jié)BC，AC，過點C作直線CD⊥AB于點D，點E是AB上一點，直線CE交⊙O于點F，連結(jié)BF，與直線CD交于點G．求證：BC2=BG·BF.