從一道方程組的解法談起

在學習二元一次方程組時，小明遇到這樣一個問題：

已知方程組a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 的解是x=3，y=4， ，求方程組3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2 的解．

小明的解法如下：依據方程組解的定義，將x=3y=4 代入方程組a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 得3a1+4b1=c1，3a2+4b2=c2. 將方程組3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2 的兩邊同時除以5，得a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2.將c1=3a1+4b1，c2=3a2+4b2代入方程組3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2， 并整理得3a1x－1+2b1y－2=0，3a2x－1+2b2y－2=0.觀察該方程組中兩個方程的系數特點，不難發現，當x－1=0，y－2=0時，不論a1，b1，a2，b2取何值，方程組中的兩個方程均成立． 因此x－1=0，y－2=0， 解得x=5，y=10.

表面上看，小明的解法似乎天衣無縫，而實際上，小明在由3a1x－1+2b1y－2=0①，3a2x－1+2b2y－2=0② 推出x－1=0，y－2=0 時，忽視了二元一次方程組有唯一解的條件．

事實上，由①×a2得3a1a2x－1+2a2b1y－2=0③，由②×a1得3a1a2·x－1+2a1b2y－2=0④． ③-④得2a2b1y－2－2a1b2y－2=0，即2y－2（a2b1－a1b2）=0⑤． 可以看出，只有當a2b1-a1b2≠0時，才有y－2=0，否則y－2可以取任何值． 那么是否一定有a2b1-a1b2≠0呢？回答是肯定的．

由方程組a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 的解是x=3，y=4 可知該方程組有唯一一組解． 根據方程組有唯一一組解的條件可得a2b1-a1b2≠0． 同理，只有當a2b1-a1b2≠0時才有x－1=0． 所以由3a1x－1+2b1y－2=0，3a2x－1+2b2y－2=0 推出x－1=0，y－2=0 時，一定要交待a2b1-a1b2≠0這個隱含條件，否則解題就不嚴密． 不僅如此，由于小明沒有很好地利用已知條件，因而解法也比較麻煩．

事實上，對比已知方程組和所求方程組的系數，可以發現，把第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以5后可得0.6a1x+0.4b1y=c1，0.6a2x+0.4b2y=c2， 此方程組中的0.6x，0.4y分別相當于方程組a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 中的x，y，因此有0.6x=3，0.4y=4， 即方程組3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2 的解是x=5，y=10.

實際上，在解方程組0.6a1x+0.4b1y=c1，0.6a2x+0.4b2y=c2 時，我們也可設0.6x=u，0.4y=v，這樣原方程組可變形為a1u+b1v=c1，a2u+b2v=c2， 對比方程組a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 與方程組a1u+b1v=c1，a2u+b2v=c2 的結構，我們發現，這兩個方程組只是未知數的表達形式不同而已，未知數的系數和常數項都是相同的，這樣的兩個方程組的解一定相同，我們把它作為二元一次方程組的一個重要性質，即未知數的系數和常數項分別對應相等的兩個二元一次方程組的解相同．

在解答類似于引例的數學問題時，我們要注意對比兩個方程組的結構，運用二元一次方程組的重要性質進行解答．

已知方程組2a－3b=13，3a+5b=30.9 的解是a=8.3，b=1.2， 則方程組2（x+2）－3（y－1）=13，3（x+2）+5（y－1）=30.9 的解是（ ）

A． x=8.3y=1.2 B． x=10.3y=2.2

C． x=6.3y=2.2 D． x=10.3y=0.2

對比兩個方程組的結構，不妨設x+2=u，y-1=v，則方程組2（x+2）－3（y－1）=13，3（x+2）+5（y－1）=30.9 可變形為2u－3v=13，3u+5v=30.9， 利用二元一次方程組的重要性質可得u=8.3，v=1.2， 即x+2=8.3，y－1=1.2， 解得x=6.3，y=2.2. 所以方程組2（x+2）－3（y-1）=13，3（x+2）+5（y-1）=30.9 的解是x=6.3，y=2.2. 答案為C．

如果方程組a1x+b1y=2，a2x+b2y=3 的解是x=10，y=15， 求方程組5a1x+6b1y=8，5a2x+6b2y=12 的解．

對比兩個方程組的結構，將方程組5a1x+6b1y=8，5a2x+6b2y=12 的兩邊同時除以4得a1x+b1y=2，a2x+b2y=3. 設x=u，y=v，則方程組a1x+b1y=2，a2x+b2y=3 可變形為a1u+b1v=2，a2u+b2v=3. 利用二元一次方程組的重要性質得u=10，v=15， 即x=10，y=15， 解得x=8，y=10. 所以方程組5a1x+6b1y=8，5a2x+6b2y=12 的解是x=8，y=10.