以平面坐標(biāo)系為背景的動(dòng)圓問題

（2010山東濟(jì)南）如圖1，拋物線y=－x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，直線BD的函數(shù)表達(dá)式為y= －x+3，拋物線的對(duì)稱軸l與直線BD交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)E．

（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A和點(diǎn)B重合），以點(diǎn)A為圓心、AP長(zhǎng)為半徑的圓弧與線段AC交于點(diǎn)M，以點(diǎn)B為圓心、BP長(zhǎng)為半徑的圓弧與線段BC交于點(diǎn)N，分別連結(jié)AN，BM，MN．

①求證：AN=BM．

②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形AMNB的面積有最大值還是有最小值？求出該最大值或最小值.

（1）令－x2+2x+3=0，解得x=－1，x=3，所以A（－1，0），B（3，0）. 因?yàn)閥=－x2+2x+3=－（x－1）2+4，所以拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1. 將x=1代入y=－x+3得y=2，所以C（1，2）.

（2）①在Rt△ACE中，tan∠CAE==，所以∠CAE=60°. 由拋物線的對(duì)稱性可知l是線段AB的垂直平分線，所以AC=BC. 所以△ABC為等邊三角形. 所以AB=BC=AC=4，∠ABC=∠ACB=60°. 又因?yàn)锳M=AP，BN=BP，所以BN=CM. 所以△ABN≌△BCM. 所以AN=BM.

②四邊形AMNB的面積有最小值，設(shè)AP=m，四邊形AMNB的面積為S，由①知AB=BC=4，BN=CM=BP，S=×42=4，所以CM=BN=BP=4-m，CN=m. 點(diǎn)過M作MF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，則MF=MC·sin60°=·（4－m），所以S=CN·MF=m·（4－m）= －m2+m，所以S=S－S=4-－m2+m=（m－2）2+3 . 所以當(dāng)m=2時(shí)，四邊形AMNB的面積取得最小值3.

本題設(shè)置了圓心不動(dòng)而半徑變化的兩圓相切的問題情境，即由于點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引起兩圓半徑的變化，以致引起四邊形AMNB的面積的變化．本題的難點(diǎn)是如何用含x的代數(shù)式表示出四邊形AMNB的面積關(guān)系式．可見，如何在動(dòng)中找到特殊點(diǎn)，如何將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題是解決此類問題的關(guān)鍵．

（2010云南昭通）如圖2，直線l的解析式為y=－x+6，它與x軸、y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，平行于直線l的直線n從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)過程中始終保持n∥l，直線n與x軸、y軸分別相交于C，D兩點(diǎn)，線段CD的中點(diǎn)為P，以點(diǎn)P為圓心、CD為直徑在CD上方作半圓，半圓面積為S，當(dāng)直線n與直線l重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束．

（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍.

（3）直線n在運(yùn)動(dòng)過程中， ①當(dāng)t為何值時(shí)，半圓與直線l相切？

②是否存在這樣的t值，使得半圓面積S=S？若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（1）根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)特征易求A（6，0），B（0，6）．

（2）由于在運(yùn)動(dòng)過程中n∥l， 所以CD===t． S=πPD2=π·t2=πt2（0

（3）①過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F（圖略）． 當(dāng)PF=PD時(shí)，半圓與l相切，即（6－t）=t，解得t=3． 所以當(dāng)t=3時(shí)，半圓與直線l相切．

②由于S=S－S=×6×6－×t·t=18－t2， S=πt2，若S=S，則πt2=·18－t2， 可求出t==<6． 所以存在t=使得S=S．

本題設(shè)置了在平面坐標(biāo)系下“心”動(dòng)半徑也變的問題情境，解決的關(guān)鍵是找出動(dòng)態(tài)過程中的不變量，同時(shí)要注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，即如何把動(dòng)線問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)問題來解決．

（2010云南昆明）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過O（0，0），A（4，0），B3，－三點(diǎn).

（1）求此拋物線的解析式.

（2）以O(shè)A的中點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑作⊙M，在（1）中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，過點(diǎn)P作⊙M的切線l ，且l與x軸的夾角為30°？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（1）y=x2－x.

（2）存在，理由如下：拋物線y=x2－x的頂點(diǎn)坐標(biāo)是2，－，作拋物線和⊙M（如圖3），設(shè)滿足條件的切線l與x軸交于點(diǎn)B，與⊙M相切于點(diǎn)C，連結(jié)MC，過點(diǎn)C作CD⊥x 軸于點(diǎn)D，因?yàn)镸C=OM=2，∠CBM=30°，CM⊥BC，所以∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4，所以B（-2，0）. 在Rt△CDM中，∠DCM=90°-∠CMD=30°，所以DM=1，CD==. 所以C（1，）. 設(shè)切線l的解析式為y=kx+b（k≠0），因?yàn)辄c(diǎn)B，C在l上，所以有k+b=，－2k+b=0，解得k=，b=. 所以切線BC的解析式為y=x+. 因?yàn)辄c(diǎn)P為拋物線與切線的交點(diǎn)，由y=x2－x，y=x+解得x=－，y=； x=6，y=. 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為P－，，P6，. 因?yàn)閽佄锞€y=x2－x的對(duì)稱軸是直線x=2，此拋物線、⊙M的對(duì)稱軸都為直線x=2，于是作切線l關(guān)于直線x=2的對(duì)稱直線l′后可得到B，C關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)B和C. l′滿足題中要求，由對(duì)稱性得到P，P關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)P， ，P－2，即為所求的點(diǎn).

綜上可知，滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè)，分別為P－，，P6，，P， ，P－2，.

解決問題的策略是：明確直線與圓相切的兩種不同位置，利用相切的特征，找出線和點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)特殊位置，在運(yùn)動(dòng)中分析，在變化中求解，進(jìn)而將線的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)．