綜合題型專題講解

在歷年的中考試卷中，都少不了綜合題，這些試題往往涉及代數(shù)、幾何等多方面的知識. 綜合題涉及的知識面廣、知識跨度大、綜合性強，應(yīng)用的數(shù)學(xué)方法多，縱橫聯(lián)系較復(fù)雜，結(jié)構(gòu)新穎靈活，注重基礎(chǔ)能力、探索創(chuàng)新和數(shù)學(xué)思想方法，它要求同學(xué)們必須具有良好的心理素質(zhì)和知識功底，能夠從已知所提供的信息中，提煉出數(shù)學(xué)問題，從而靈活地運用基礎(chǔ)知識和基本技能創(chuàng)造性地解決問題.

按通常的數(shù)學(xué)綜合題所涉及的知識體系來講，可將綜合題分為單科綜合（代數(shù)綜合題和幾何綜合題）與雙科綜合題. 雙科綜合題又分為以代數(shù)為主的代數(shù)幾何綜合題和以幾何為主的幾何代數(shù)綜合題. 代數(shù)綜合題是以方程、函數(shù)為主線，結(jié)合三角形、四邊形、相似形、圓和解直角三角形等知識的綜合；幾何代數(shù)題則是以全等、相似、三角函數(shù)等知識為主線，結(jié)合方程、函數(shù)的綜合.

1. 代數(shù)綜合性試題

（2010四川巴中）“保護環(huán)境，人人有責(zé)”，為了更好地治理巴河，巴中市污水處理廠決定購買A，B兩型污水處理設(shè)備共10臺，其信息如下表：

（1）設(shè)購買A型設(shè)備x臺，所需資金共為w萬元，每月處理污水總量為y噸，試寫出w與x，y與x的函數(shù)關(guān)系式．

（2）經(jīng)預(yù)算，市污水處理廠購買設(shè)備的資金不超過106萬元，月處理污水量不低于2040噸，請你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案最省錢，需要多少資金.

知道兩種型號的設(shè)備共10臺，若設(shè)購買A型設(shè)備x臺，則購買B型設(shè)備為（10-x）臺，從而A型設(shè)備所需資金共為12x萬元，B型設(shè)備所需資金共為10（10-x）萬元，A型設(shè)備每月處理污水總量為240x噸，B型設(shè)備每月處理污水總量為200（10-x）噸；由設(shè)備的資金不超過106萬元，月處理污水量不低于2040噸可得兩個不等式.

（1）w=12x+10（10-x）=100+2x，y=240x+200（10-x）=2000+40x.

（2）由條件可列出不等式組100+2x≤106，2000+40x≥2040， 解得1≤x≤3，所以有三種方案：方案一，購買1臺A型設(shè)備，9臺B型設(shè)備；方案二，購買2臺A型設(shè)備，8臺B型設(shè)備；方案三，購買3臺A型設(shè)備，7臺B型設(shè)備. 方案一需102萬元資金，方案二需104萬元資金，方案三需106萬元資金，所以方案一最省錢，需要102萬元資金.

本題考查了用一次函數(shù)和不等式組解決實際問題，解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)和不等式組，做題時應(yīng)注意“不超過”“不低于”等字眼.

（2010四川樂山）已知反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=3x+m的圖象相交于點（1，5）．

（1）求這兩個函數(shù)的解析式.

（2）求這兩個函數(shù)圖象的另一個交點的坐標(biāo)．

（1）因為點A（1，5）在反比例函數(shù)y=的圖象上，于是有5=，解得k=5， 所以反比例函數(shù)的解析式為y=. 又因為點A（1，5）在一次函數(shù)y=3x+m的圖象上， 所以有5=3+m. 所以m=2．所以一次函數(shù)的解析式為y=3x+2.

（2） 由題意可得y=，y=3x+2， 解得x=1，y=5； x=－，y=－3. 所以這兩個函數(shù)圖象的另一個交點的坐標(biāo)為－，－3.

求函數(shù)的交點坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化成求兩個函數(shù)解析式組成的方程組的解.

2. 幾何綜合性試題

（2010江蘇南京）如圖1，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點，點E從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止．連結(jié)EM并延長交射線CD于點F，過點M作EF的垂線交射線BC于點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G．

（1）設(shè)AE=x時，△EGF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

（2）點P是MG的中點，請直接寫出點P運動路線的長．

（1）欲求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，即△EGF的面積，觀察圖形發(fā)現(xiàn)S= EF·MG，由條件AM=DM及正方形的性質(zhì)可得△AME≌△DMF，所以EF=2EM. 因此求出面積的關(guān)鍵是求出MG． 結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)過點M作MN⊥BC，垂足為N可得Rt△AME∽Rt△NMG，進而運用相似三角形的性質(zhì)可得到MG的長，問題獲解；（2）如圖2，P1P2（P1是P的起始位置，P2是P的終止位置）是點P運動的路線，由Rt△ABM∽Rt△P1P2M，AB=2AM，得P1P2=2MP1=2．

（1）當(dāng)點E與點A重合時，x=0，y=×2×2=2；當(dāng)點E與點A不重合時，0＜x≤2． 在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，所以∠MDF=90°. 所以∠A=∠MDF． 因為AM=DM，∠AME=∠DMF，所以△AME≌△DMF. 所以ME=MF． 在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=，所以EF=2ME=2． 過點M作MN⊥BC，垂足為N，則∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM． 所以∠AME+∠EMN=90°． 因為∠EMG=90°，所以∠GMN+∠EMN=90°. 所以∠AME=∠GMN. 所以Rt△AME∽Rt△NMG. 所以=，即=. 所以MG=2ME=2. 所以y=EF·MG=×2×2=2x2+2. 所以y =2x2+2（0≤x≤2）．

（2）點P運動的路線長為2．

本題是一道以動點為背景求函數(shù)關(guān)系式的面積問題，添加恰當(dāng)?shù)妮o導(dǎo)線構(gòu)造相似三角形求MG的長是問題（1）的求解關(guān)鍵． 由于此類問題綜合多個知識點進行考查，再加之同學(xué)們對運動性問題的分析往往難以達到“動中求靜”，因此，近年來各地多以運動問題作為中考數(shù)學(xué)試卷的壓軸題．

3. 雙科綜合性試題

（2010江蘇南通）如圖3，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常數(shù)），BC=8，E為線段BC上的動點（不與B，C重合），連結(jié)DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點F，設(shè)CE=x，BF=y．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若m=8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

（3）若y=，要使△DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？

（1）設(shè)法證明y與x這兩條線段所在的兩個三角形相似，由比例式建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式. （2）將m的值代入（1）中的函數(shù)關(guān)系式，配方化成項點式后求最值. （3）逆向思考，當(dāng)△DEF是等腰三角形，因為DE⊥EF，所以只能是EF=ED，再由（1）可得Rt△BFE≌Rt△CED，從而求出m的值.

（1）在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，所以在Rt△BFE中，∠BEF+∠BFE=90°. 又因為EF⊥DE，所以∠BEF +∠CED=90°. 所以∠CED=∠BFE. 所以Rt△BFE∽Rt△CED. 所以=，即=，所以y=.

（2）當(dāng)m=8時，y==－（x－4）2+2，所以當(dāng)x=4時，y的值最大，最大值是2.

（3）由y=及y=得x的方程x2－8x+12=0，解得x1=2，x2=6. 因為△DEF中∠FED是直角，所以要使△DEF是等腰三角形，則只能是EF=ED，此時，Rt△BFE≌Rt△CED，所以當(dāng)EC=2時，m=CD=BE=6；當(dāng)EC=6時，m=CD=BE=2. 故當(dāng)m的值為6或2時，△DEF是等腰三角形.

在幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系式，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，要注意運用“相似法”“面積法”與勾股定理建立有關(guān)等式，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式，這也是中考試卷中的常見考法.