中考數學壓軸題的特點及策略

每年中考數學壓軸題的主要功能是對不同水平層次的同學進行區分和選拔，考查同學們在初中階段對核心知識和重要數學方法、數學思想的理解和掌握水平. 目前的中考壓軸題涵蓋了方程、不等式、二次函數、相似、特殊四邊形等核心知識，其中以二次函數為背景，結合相似、特殊四邊形、方程的考題尤為突出，涉及圖形變換. 此類題型具有知識面廣、解題方法多、技能和能力要求高、數學思想方法凸顯等特點，其在中考中占有舉足輕重的地位.

1. 解讀中考壓軸題考點

縱觀近幾年的中考試題，中考壓軸題通常由3個小問組成，第一個小問容易得分，得分率普遍在0.8以上，第二個小題稍難，但通常還是屬于常規題型，得分率在0.6與0.7之間，第三個小問較難，能力要求較高，且得分率也大多在0.2與0.4之間，從全國中考數學的試題命題來看，各地中考試題呈現“起點低，坡度緩，尾巴略翹”這一大特色.

通常第一小題主要是求點的坐標或函數解析式. 第二、三小題有探究點的存在性問題、圖形面積問題或最值問題等，其中，各個小題難度層層推進. 下面就以2011年浙江省部分中考壓軸題為例，著重闡述第二、三小題的特點及求解策略.

2. 案例呈現，做好應考教學策略

案例1 （2011浙江義烏）已知二次函數的圖象經過A（2，0），C（0，12） 兩點，且對稱軸為直線x=4. 設拋物線頂點為P，與x軸的另一交點為點B.

（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標.

（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O，P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N. 將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN. 在動點M的運動過程中，設△P1MN與梯形OMNB重疊部分的面積為S，運動時間為t秒，求S關于t的函數關系式.

方法點撥 （1）可設出二次函數的一般形式y=ax2+bx+c，根據對稱軸公式，并把點A，C的坐標代入解析式，得到方程組，可求得 a，b，c的值分別為1，-8，12. 所以函數解析式為y=x2－8x+12. 從而可確定頂點P的坐標為（4，-4）.

（2）由（1）可確定點B的坐標為（6，0），從而可確定PB的解析式為y=2x-12，發現PB∥OD，因此OP和BD為腰，計算OP的長度. 設D（x，2x），用含x的代數式表示BD2的長度，即BD2=（2x）2+（6－x）2，再根據OP2=BD2建立方程（2x）2+（6－x）2=32，解得x1=，x2=2，注意檢驗根的合理性. 當x=2時，OD=BP=2，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去. 所以當x=時，四邊形OPBD為等腰梯形. 故存在D，符合題意.

（3）當0

解決策略 對于求點的坐標問題，同學們要熟悉平行于x軸和y軸的坐標特點，以及在坐標軸角平分線上的點的特點，并會利用待定系數法求函數關系式. 對于點存在性問題，解答時應先回答問題，再說明理由. 說理的方式有兩種：一是從已知條件入手，通過推理、論證得出結論成立；二是從結論入手，通過推理、論證，得到使結論成立的條件. 由于點有靜態點和動態點之分，因此，做題時應區別對待. 對于靜態點問題，往往涉及點滿足何條件才能構成等腰三角形、等腰梯形、正方形、菱形等，這類問題應注重分類討論，根據其性質特點，找出點的位置，然后利用方程思想來解決. 對于圖形面積問題，壓軸題中往往是在圖形的運動變化中求值，常用割補法，或者探究兩種圖形重疊部分的面積.

案例2 （2011浙江寧波）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（-2，2），點B的坐標為（6，6），拋物線經過A，O，B三點，連結OA，OB，AB，線段AB交y軸于點E．

（1）求點E的坐標.

（2）求拋物線的函數解析式.

（3）點F為線段OB上的一個動點（不與點O，B重合），直線EF與拋物線交于M，N兩點（點N在y軸右側），連結ON，BN，當點F在線段OB上運動時，求△BON 面積的最大值，并求出此時點N的坐標.

（4） 連結AN，當△BON面積最大時，在坐標平面內求使得△BOP與△OAN相似（點B，O，P分別與點O，A，N對應）的點P的坐標．

方法點撥 （1）根據A，B兩點坐標可求出直線AB的解析式為y=x+3，令x=0，可求得E點坐標為（0，3）.

（2）設拋物線解析式為y=ax2+bx，將A，B兩點的坐標代入，列方程組求得a=，b=－，所以拋物線的解析式為y=x2－x．

（3）過點N作x軸的垂線NG，垂足為點G，交OB于點Q，過點B作BH⊥x軸于點H，設Nx，x2－x，則Q（x，x）. 把△BON的面積表示為兩個三角形之和，用含未知數的形式表示出△BON的面積，即S△BON=S△QON+S△BQN=·QN·OG+·QN·GH=·QN·（OG+GH）=·QN·OH=·x－x2－x×6=－（x－3）2+（0

（4）過點A作AS⊥GQ于點S，易求得tan∠SAN=tan∠NOG=，且∠OAS=∠BOG=45°，所以∠SAN=∠NOG，∠OAN=∠BON. 所以ON的延長線上存在一點P滿足條件. 先求出OB，AO和AN的長，由△BOP∽△OAN得到OP的長為. 作PT⊥x軸于點T，所以△OPT∽△ONG， ==，設P（4t，t），則（4t）2+t2=2，解得t1=，t2=－（舍），所以點P的坐標為15，. 將△OPT沿直線OB翻折，可得出另一個滿足條件的點P′，15. 由以上推理可知，當點P的坐標為15，或，15時，△BOP與△OAN相似．

解決策略 對于單動點的動態問題，應抓住變化中的“不變量”，以不變應萬變. 先理清題意，根據題目中兩個變量的變化情況找出相關常量，再按照圖形中的幾何性質及相互關系，找出一個基本關系式，把相關的量用一個自變量的表達式表達出來，最后根據題目的要求，依據幾何、代數知識求解. 對于面積的最值問題，有求三角形或四邊形的面積的最大（小）值. 這類問題通常是借助三角形的面積公式或轉化為三角形來解決，但它們的本質都是通過建立二次函數模型，對二次函數配方求得相應的最值，因此，在解決這類問題時，首先應求出所求問題的二次函數解析式，然后再配方求頂點坐標，這樣就可以求出最值.

3. 總結

中考壓軸題是初中數學中知識覆蓋面最廣，綜合性最強的題型. 壓軸題結合知識點多，條件隱晦，這就要求同學們有較強的理解能力、分析能力和解決能力，對數學知識和數學方法有較強的駕馭能力，并且有較強的創新意識和創新能力.