四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的求解

數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，是數(shù)學(xué)圖形上存在一個(gè)或兩個(gè)沿某些線運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征，尋求題目中某些量之間關(guān)系的問(wèn)題. 這類題目，逐漸成為了考試研究的熱點(diǎn). 下面舉例說(shuō)明四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解法.

如圖1，菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)6和8，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，求PE＋PF的最小值.

利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，可在CD上找出點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F′（即DC的中點(diǎn)），連結(jié)F′E交AC于點(diǎn)P，則PE+PF的最小值為線段EF′的長(zhǎng)，而E，F(xiàn)′分別為邊AB，DC的中點(diǎn)，則F′E的長(zhǎng)等于菱形的邊長(zhǎng)5.

作點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F′，連結(jié)F′E交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PF取得最小值. 因?yàn)辄c(diǎn)F是BC上的中點(diǎn)，所以點(diǎn)F′是DC邊上的中點(diǎn). 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以DC∥AB. 因?yàn)辄c(diǎn)E是AB邊上的中點(diǎn)，所以F′C∥EB，F(xiàn)′C=EB. 所以四邊形EBC F′是平行四邊形. 所以EF′=BC. 因?yàn)榱庑蜛BCD的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)6和8，所以BC==5. 所以EF′=5. 所以PE+PF=PE+PF′=EF′=5. 所以PE+PF的最小值為5.

解此類題時(shí)，先抓住問(wèn)題中的“最值”，即題目中的 “最小值”，確定動(dòng)點(diǎn)P的位置，然后利用圖形的特征加以解決. 求最小值的常用方法是先作某一點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)，再利用軸對(duì)稱性質(zhì)將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移，最后利用兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解.

如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以3 cm/s的速度運(yùn)動(dòng). P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng). 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，則

（1）t為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形？

（2）t為何值時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形？

解決本題的關(guān)鍵是熟悉平行四邊形和等腰梯形的性質(zhì)特征，再根據(jù)它們的性質(zhì)特征列出方程進(jìn)行求解.

（1）在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳D∥BC，所以當(dāng)PD=CQ時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形. 所以24-t=3t，解得t=6. 所以當(dāng)t=6 s時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形.

（2）如圖3，作DH⊥BC于點(diǎn)H，PG⊥BC于點(diǎn)G，若四邊形PQCD為等腰梯形，則QC=PD＋2HC，即QC=PD+2（BC-AD）. 因?yàn)锽C=26，AD=24，所以3t=（24-t）+2（26-24），解得t=7. 所以當(dāng)t=7 s時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形.

在解答本例題時(shí)，根據(jù)問(wèn)題中特殊四邊形的性質(zhì)及特征，構(gòu)造動(dòng)點(diǎn)的位置，是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題常用的方法.

如圖4，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點(diǎn)P在AD上，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，求PE+PF的值.

在求PE＋PF的值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的位置不固定，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分可發(fā)現(xiàn)S與S的和，即S的值是一個(gè)固定不變的值，所以，可連結(jié)OP，根據(jù)S= S+S=S，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果.

連結(jié)OP，因?yàn)镾= S+S，所以S=AO·PE+DO·PF. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AC=BD，∠BAD=90°，AO=AC，DO=BD. 因?yàn)锳B=3，AD=4，所以AC=BD=5. 所以AO=DO=. 所以S=×PE+×PF=（PE＋PF）. 因?yàn)镾=S=×3×4=3，所以（PE＋PF） =3. 所以PE＋PF=.

動(dòng)點(diǎn)P的位置無(wú)法確定，PE，PF無(wú)法放到一條直線上，但始終不變的是圖形的面積. “面積法”是本類題的解題特點(diǎn).

如圖5，在梯形ABCD中，AD∥BC， AD=2， BC=4， 點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，△MBC是等邊三角形.

（1）試說(shuō)明梯形ABCD是等腰梯形.

（2）動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動(dòng)，且∠MPQ=60°保持不變，設(shè)PC為x，MQ為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

（1）因?yàn)椤鱉BC是等邊三角形，所以MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°. 因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，所以AM=MD. 因?yàn)锳D∥BC，所以∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°． 所以△AMB≌△DMC. 所以AB=DC. 所以梯形ABCD是等腰梯形．

（2） 因?yàn)椤鱉BC是等邊三角形，所以∠MBC=∠MCB =60°，MB=MC=BC=4. 因?yàn)椤螹PC=∠MBC＋∠BMP=∠MPQ＋∠QPC，∠MPQ=∠MBC=60°，所以∠BMP=∠QPC. 所以△MPB∽△PQC. 所以=. 因?yàn)镻C=x，MQ=y，所以QC =4-y，PB=4-x. 所以=. 所以 y=x2-x+4.

如圖6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3 cm，∠C=60°，BD⊥CD．

（1）求BC，AD的長(zhǎng)度.

（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2 cm／s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CD邊向點(diǎn)D以1 cm／s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng) P，Q分別從B，C同時(shí)出發(fā)時(shí)，寫出五邊形ABPQD的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍（不包含點(diǎn)P在B，C兩點(diǎn)的情況）.

（3）在（2）的前提下，是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1 ∶ 5？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（1）在Rt△BCD中，CD=3 cm，∠C=60°，所以∠DBC=30°. 所以BC=2CD=6 cm. 由已知知梯形ABCD是等腰梯形，所以∠ABC=∠C=60°. 所以∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°. 因?yàn)锳D∥BC，所以∠ADB=∠DBC=30°. 所以∠ABD=∠ADB. 所以AD=AB=3 cm.

（2）當(dāng)P，Q分別從B，C同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)t s時(shí)，BP=2t，CQ=t，所以PC=6-2t. 過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E，則QE=CQsin60°=t. 所以S =S-S=－t（6-2t）=（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.

（3）存在時(shí)刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1 ∶ 5. 因?yàn)镾=，S=×3××3，所以S=S所以五邊形ABPQD的面積不可能是梯形ABCD面積的. 所以S ∶ S=1 ∶ 5，即S=S. 所以（2t2-6t+27）=×，解得t=. 所以當(dāng)t=s時(shí)，PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1 ∶ 5．

總之，數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，是把“動(dòng)”變?yōu)椤办o”，借助題目的已知條件、所求問(wèn)題的圖形特征、運(yùn)動(dòng)規(guī)律等，經(jīng)過(guò)觀察、大膽猜想、推理、歸納等過(guò)程，靈活地把未知轉(zhuǎn)化為已知，從而得出動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的答案.