例說探索性問題的常用解法

題目將拋物線C：y=－x2+沿x軸翻折，得拋物線C，如圖1所示.

（1）請直接寫出拋物線C的表達式.

（2）現將拋物線C向左平移m（m>0）個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M， 與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線C向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D，E.

①當B，D是線段AE的三等分點時，求m的值.

②在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由.

這是2011年江西中考試卷的第24題，是一道檢測同學們數學綜合能力的探索性問題. 探索性問題的條件或結論不確定，從而解題的思維與方法不易直接判斷和掌握，同學們得分率比較低. 但每年中考都有這種探索性的考題，因此，同學們必須突破這個難點. 下面是我對這類問題解法的一些研究，供大家參考，希望對同學們有所幫助.

1. 判斷型探索性問題

判斷型探索性問題是指結論設有未知的問題，解決這類問題的基本方法是根據條件進行分析、推理、計算，最終得到結果.

（2011江蘇南京）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm， 點P為BC的中點， 動點Q從點P出發， 沿射線PC方向以2 cm/s的速度運動，以點P為圓心，PQ長為半徑作圓，設點Q運動的時間為t s.

（1）當t=1.2 s時，判斷直線AB與⊙P的位置關系，并說明理由.

（2）已知⊙O為△ABC的外接圓，當t為何值時，⊙P與⊙O相切？

（1）直線AB與⊙P相切. 過點P作PD⊥AB，垂足為D. 在Rt△ABC中，因為∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，所以AB ==10 cm. 因為點P為BC的中點，所以PB=4 cm. 因為∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，所以△PBD∽△ABC. 所以=，即=. 所以PD=2.4 cm. 而當t=1.2 s時，PQ=2t=2.4 cm. 所以PD=PQ，即圓心P到AB的距離等于⊙P的半徑. 所以直線AB與⊙P相切.

（2）因為∠ACB=90°，所以AB為△ABC的外接圓的直徑. 所以OB=AB=5 cm. 連結OP，因為點P為BC的中點，所以OP為△ABC的中位線. 所以OP=AC=3 cm. 因為點P在⊙O的內部，所以⊙P與⊙O只能內切. 根據兩圓內切時半徑間的關系可知5-2t=3或2t-5=3，解得t=1或t=4. 所以當t的值為1或4時，⊙P與⊙O相切.

2. 可能型探索性問題

可能型探索性問題是指根據題目所給的條件，探索是否存在可能的結果的問題. 解決這種問題的基本方法是假設可能，然后根據題目所給的條件，分析、推理、計算，得到一個結論. 如果結論符合題目要求，說明可能；如果結論不符合題目要求，或推理過程中出現矛盾，說明不可能. 最后再進行總結.

如圖3，四邊形ABCD是直角梯形，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，點P從點A出發，以1 cm/s的速度向點D運動，點Q從點C同時出發，以3 cm/s的速度向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，則在P，Q的運動過程中，四邊形PQCD是否可能為平行四邊形？ 如果可能，求出P，Q的運動時間；如果不可能，說明理由.

可能. 因為四邊形ABCD是直角梯形，所以AD∥BC. 所以當PD=CQ時，四邊形PQCD是平行四邊形. 設點P，Q運動x s時，四邊形PQCD是平行四邊形，則AP=x cm，CQ=3x cm. 因為AD=24 cm，所以PD=（24-x） cm，即24-x=3x，所以x=6. 所以當P，Q運動6 s時四邊形PQCD是平行四邊形.

3. 變化型探索性問題

變化型探索性問題是指題目的部分條件或全部條件變了，探究題目結論是否也發生變化. 解決這類問題的基本方法是根據題目變化了的條件，分析題目各種關系是否發生變化，如何變化，依此推理、計算，得到結論.

（2011廣東河源）如圖4，已知線段AB的長為2a，點P是AB上的動點（點P不與A，B重合），分別以AP，PB為邊向線段AB的同一側作正三角形APC和正三角形PBD.

（1）當△APC與△PBD的面積之和取最小值時，AP=__________（直接寫結果）.

（2）連結AD，BC，相交于點Q，設∠AQC=α，那么α的大小是否會隨點P的移動而變化？請說明理由.

（3）如圖5，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉（旋轉角小于180°），此時α的大小是否發生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）

（1）AP＝a.

（2）α的大小不會隨點P的轉移而變化，理由如下：因為△APC是等邊三角形，所以PA=PC，∠APC=60°. 因為△BDP是等邊三角形，所以 PB=PD，∠BPD=60°. 所以∠APC=∠BPD. 所以∠APD=∠CPB. 所以△APD≌△CPB. 所以∠PAD=∠PCB. 因為∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，所以∠AQC=180°－120°=60°.

（3）此時α的大小不會發生改變，始終等于60°.

4. 存在型探索性問題

存在型探索性問題是指根據題目所給的條件，探索是否存在符合要求的結論. 這種問題與可能型探索性問題類似. 解決這種問題的基本方法是假設結論存在，根據題目所給的條件，分析、推理、計算，得到一個結論. 如果結論符合題目要求，說明存在符合要求的結論；如果結論不符合題目要求，或推理過程中出現矛盾的情況，說明不存在符合要求的結論.

本文開頭的題目就是一個存在型探索性問題，我們可以作以下解答.

（1）y=x2－.

（2）①令－x2+=0，解得x1=-1，x2=1，則拋物線C與x軸兩個交點的坐標分別為（－1， 0），（1， 0）. 所以A（－1－m，0），B（1－m，0）. 同時可得D（－1+m，0），E（1+m，0）. 當AD＝AE時，如圖6，有（－1+m）－（－1－m）=·［（1+m）－（－1－m）］，解得m=. 當AD=AE時（圖略），有（－1+m）－（－1-m）=［（1+m）－（－1－m）］，解得m=2. 所以當m=或m=2時，B，D是線段AE的三等分點.

②存在，理由如下：如圖7，連結AN，NE，EM，MA，依題意可得M（－m，），N（m，－），即M，N關于原點O對稱，所以OM=ON. 因為A（-1-m，0），E（1+m，0），所以A，E關于原點O對稱. 所以OA=OE. 所以四邊形ANEM為平行四邊形. 要使平行四邊形ANEM為矩形，必須滿足OM＝OA，即m2+（）2=［－（－1－m）］2，解得m=1. 所以當m=1時，以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形.