峰回路轉一線添

《圓》是初中數學的重點章節，其知識內容豐富，解題方法眾多，數學思維靈活，知識點前后聯系密切，為同學們圓滿完成初中數學學習設置了重重障礙，尤其是層出不窮的輔助線，更讓莘莘學子望而怯步、望“線”生畏． 因此，要想學好《圓》的相關知識，同學們須掌握圓中常用輔助線的作法，通過“一線破天機”實現“船到橋頭自然直”的最佳狀態．

作直徑

如圖1，△ABC內接于⊙O，AE是⊙O的直徑，CD是△ABC中AB邊上的高，求證：AC·BC= CD·AE.

將等積式轉化為比例式，構造相似三角形. 由△ADC為直角三角形容易想到構造直角三角形，結合AE是⊙O的直徑這一已知條件，容易想到作出直徑所對的圓周角．

連結CO并延長交⊙O于點F，連結BF，則∠ADC=∠CBF=90°，∠F=∠CAD． 所以△ADC∽△FBC. 所以=. 所以AC·BC= CD·FC. 又因為FC=AE，所以AC·BC= CD·AE.

在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，題中把直徑CF轉化為AE即能得證. 另外，如果變換直徑的位置或變換直徑為半徑，又能得到更多命題．

作垂線

如圖2，在兩同心圓O中，大圓的弦AD交小圓于B，C兩點，求證：DC=AB.

需證明的兩條線段都在弦AD上，考慮到同心圓這一特殊條件，我們容易想到垂徑定理．

作OF⊥AD，垂足為F，由垂徑定理得DF=AF，CF=BF，所以DC=AB.

垂徑定理是圓中很重要的定理之一，是解決有關計算、證明和作圖問題的重要依據，它有廣泛的應用，因此，需要同學們認真領會．

作公共弦

如圖3，⊙O與⊙O交于P，E兩點，經過點P的直線分別交兩圓于C，D兩點，經過點E的直線分別交兩圓于A，B兩點，求證：CA∥DB．

由圖形可以想到只要證明∠A+∠B=180°即可． 要證明不在同一圓中的兩個角之間的關系，中間必然需要紐帶來聯結．

連結PE，則∠A=∠DPE，∠DPE+∠B=180°. 所以∠A+∠B=180°． 所以CA∥DB.

利用公共弦可以構造圓內接四邊形，從而把不在同一個圓中的元素聯系起來．

作半徑

如圖4，點P為△ABC的內心，延長AP交△ABC的外接圓圓O于點D，在AC延長線上有一點E，滿足AD2＝AB·AE，求證：DE是⊙O的切線．

證明直線是圓的切線，常用的方法有兩種：①若已知直線經過圓上一點，常常作出經過此點的半徑；②若直線不經過圓上一點，則過圓心作已知直線的垂線．

連結DO，BD，因為點P為△ABC的內心，所以∠BAD＝∠DAE. 又因為AD2＝AB·AE，所以=. 所以△BAD∽△DAE. 所以∠ADB＝∠E. 又因為∠ADB＝∠ACB，所以∠ACB＝∠E. 所以BC∥DE. 又因為弧BD=弧DC，所以OD⊥BC. 所以OD⊥DE． 因為點D在⊙O上，故DE是⊙O的切線．

作過切點的半徑，或作出構造圓心角的半徑可以將圓中的元素有機地聯系起來．

作連心線

已知⊙O與⊙O相切于點P，過點P的直線交⊙O于點A，交⊙O于點B，求證：OA∥OB．

這是一個無圖題，須慎重考慮． 題中只是指出兩圓相切，因此需考慮內切和外切兩種情況．

（1）當⊙O與⊙O外切于點P時，如圖5，連結OO，則OO必過P點． 因為OA= OP，所以∠OPＡ＝∠A． 同理可得∠OPＢ＝∠Ｂ. 又∠OPＢ＝∠OPA，所以∠Ｂ＝∠A. 所以OA∥OB．

（2）當⊙O與⊙O內切于點P時，證明略．

本題利用兩圓相切時的性質：連心線必過切點得證．通過連心線架起了兩圓之間的橋梁． 當然，通過連心線也可以形成圓心距、兩圓半徑、公共弦之間的關系．

作公共割線

如圖6，⊙O與⊙O都經過A，B兩點，點P在BA的延長線上，過點P作⊙O的割線PCD交⊙O于C，D兩點，作⊙O的切線切⊙O于點E，若PC=3，CD=6，求PE．

已知一圓中割線的長度，求另一圓的切線，顯然需要橋梁過渡，因此，很自然地想到兩個圓的公共割線．

作割線PAB，由切割線定理得PC·PD=PA·PB，PE2=PA·PB，所以PE2= PC·PD=3×（3+6）=27，所以PE=3．

作切線

如圖7，C為線段AB的中點，BCDE為正方形，以點B為圓心，BD長為直徑的半圓交直線AB于H，K，CE與BD交于點O，DK分別交CE，BE于點M和點N，求證：AH·AK=2AC2.

問題的設計以半圓為背景，所證的結論與割線相關，結合已知條件、圖形特征，聯想到“切割線定理”，連結AD也就水到渠成、順理成章、一目了然．

連結AD，由AC=CB=CD可得∠ADB=90°，所以AD為半圓B的切線．由切割線定理得AH·AK=AD2，易知△ACD為等腰直角三角形，所以AD=AC. 所以AH·AK=2AC2.

該證明簡潔明了，趣味盎然，如果利用∠ADC=∠BDC= 45°證法亦然．

作公切線

如圖8，⊙O與⊙O外切于點P，AB是⊙O的切線，ABC是⊙O的割線，連結PA，PB，PC．求證：∠APB+∠APC=180°

所求兩角均與兩個圓有聯系，并且所證結果為180°，所以可以思考利用三角形的內角和來證明．∠APC是△APC的一個內角，因此想辦法把∠APB轉化為∠A與∠C的和，可考慮作公切線．

作兩圓的內公切線PO交AC于點O．因為AB是⊙O的切線，所以∠A=∠OPA． 另外，容易證得∠C=∠OPB，所以∠APB+∠APC=∠OPA+∠OPB +∠APC=∠A +∠C +∠APC=180°．

當告知兩圓外切時，作內公切線是常用的輔助線.

補圓

如圖9，已知△ABC中，∠B=2∠C，求證：AC2= AB2+ AB·BC.

圖形比較簡單，證明結果比較復雜，結合證明形式，我們不難發現AB·BC類似于相交弦定理，而證明結果通過變形可以利用平方差公式，也可以轉化成兩條線段之積的形式，因此，我們考慮添加輔助圓，借助這一特殊的橋梁來實現證明．

以點A為圓心，AC長為半徑作⊙A，延長CB交⊙A于點D，延長AB，BA，分別交⊙A于點E和點F，連結AD，則AD=AC． 所以∠D=∠C． 因為∠DAB+∠D=∠ABC=2∠C，所以∠DAB=∠D． 所以AB=BD． 由相交弦定理得BD·BC= BE·BF=（AE-AB）·（AF+AB）= AC2-AB2，所以AC2= AB2+ AB·BC

補圓的要求比較高，應用性也比較強，這就需要同學們能隨機應變，靈活應用．

通過以上幾例，我們發現，解決圓中問題，常常需要添加適當的輔助線，架起題設與結論之間的橋梁，從而化難為易，殊途同歸，因此，掌握常用的輔助線的方法，對于提高同學們分析問題、解決問題的能力是大有裨益的．