十字交叉法應用中的常見問題及解析

摘要：通過對一道計算題的詳細分析，闡明十字交叉法背后代表的二元混合體系所產生的具有平均意義的數值含義，特別是差值比代表的物理量配比含義，提出如何幫助學生掌握快速判斷物理量含義的方法。

關鍵詞：十字交叉法；差值比配比含義

文章編號： 1005–6629(2012)5–0063–03 中圖分類號： G633.8 文獻標識碼： B

十字交叉法是一種簡化、快速的解題方法，受到廣大師生的歡迎。在教學中發現，許多學生對十字交叉法的理解和掌握尚存在問題，尤其是對十字交叉法背后代表的二元混合體系所產生的具有平均意義的數值的計算問題的含義并未理解。于是筆者整理了該題中出現的十字交叉法，并對其進行詳細分析。例題和方法見下：

例題：Na2CO3和NaHCO3混合物9.5 g加入稀鹽酸，到不再產生氣體為止，恰好用去50 g稀鹽酸，將生成的氣體通入過量的石灰水中，得到沉淀10 g。求：混合物中Na2CO3與NaHCO3各多少克？

此題為典型的二元混合體系計算題，可用多種方法求解。最簡單的方法莫過于列二元一次方程組求解，這里不予展開。這里想介紹十字交叉法求解。十字交叉法是二元一次方程組的圖解法，是一種能快速方便解題的方法。

1 解法例析

1.1 從平均相對分子質量入手

由方程式可知Na2CO3、NaHCO3與產生的CO2的比例分別為1:1。

根據C元素守恒：n(C)=n(CO2)=0.1 mol，n(Na2CO3)+n(NaHCO3)=0.1 mol

M混= =95 g/mol，Na2CO3摩爾質量106 g/mol，

NaHCO3摩爾質量84 g/mol，化成十字交叉法如下：

Na2CO3 106 11 11 n(Na2CO3) 1

95 = =

NaHCO3 84 11 11 n(NaHCO3） 1

n(Na2CO3)=n(NaHCO3)= =0.05 mol

n(Na2CO3)=0.05×106=5.3 g；

n(NaHCO3)=0.05×84=4.2 g

1.2 求質量差之比

這種方法出錯率很高，原因在于學生搞不清楚比值對應的物理量含義。學生的答題思路如下：

假設0.1 mol的CO2全由Na2CO3產生，則需Na2CO3 10.6 g；若全由NaHCO3 產生，則需NaHCO3 8.4 g，現有混合物 9.5 g：

Na2CO3 10.6 1.1

9.5

NaHCO3 8.4 1.1

比值1.1/1.1到底表示什么含義呢？有些學生聯想到方法1，認為是碳酸鈉和碳酸氫鈉之間的摩爾配比，而另外一部分的學生則認為就是他們的質量配比。當然，計算結果肯定大相徑庭。按物質的量配比算的結果和方法一致。而按質量配比算的話答案卻變成了m(Na2CO3)=m(NaHCO3)=9.5 g/2=4.25 g。顯然，方法2錯了。質量差的比值怎么變成了物質的量比含義了呢？

1.3 從產物CO2入手

答題思路如下：

假設CO2全由Na2CO3產生，則n(CO2)= mol= mol；假設CO2全由NaHCO3產生，則n(CO2)’=

mol= mol，現有CO2 0.1 mol，

又表示什么呢？部分學生用這種方法解題，卻卡在了53/42的含義上，導致后面算錯，很是冤枉。如果從答案入手，會發現 = ，也就是說 是碳酸鈉和碳酸氫鈉之間的質量配比。問題又來了，物質的量差的比值含義怎么和質量比聯系在一起呢？

假設CO2全由Na2CO3產生，則m(CO2)= g×44= g；假設CO2，全由NaHCO3產生，則m(CO2)’= g× 4.4 =

NaHCO3產生CO2

雖然比值依然為質量比，但上述方法不同的是它的平均量（4.4）和分量（209/52、209/42）。為什么不同單位的平均量、分量得到的差值比含義會一樣？

2 確定比值含義的簡單有效的新方法

綜上4種方法中提出的疑問：①平均量、分量表示為質量，差值比含義卻為分量之間的物質的量配比；②平均量、分量物理量表示為物質的量，差值比含義卻為分量之間的質量配比；③ 兩種方法中平均量、分量的物理量含義不同，但差值比含義卻相同。

這些疑問同樣也是學生最大的困惑，正是由于搞不清它們的含義導致后續計算也一并錯誤。經過潛心研究筆者發現，十字交叉法中比值的含義與平均值分母的物理量具有高度的一致性。也就是說，只要理解平均值的分母單位是什么，該單位就是分量間的配比含義。下面就四種方法展開詳細解說。

3 方法詳解

方法1：

Na2CO3 106 11

95

NaHCO3 84 11

平均值95的含義：“每摩爾混合物的質量”，分母單位為摩爾，根據分母單位即分量配比的說法，因此11/11為分量碳酸鈉與碳酸氫鈉之間的物質的量配比。

方法2：

Na2CO3 10.6 1.1

9.5

NaHCO3 8.4 1.1

平均值9.5的含義：“每生成0.1 mol CO2需混合物的質量”，這和“每生成1 mol CO2需混合物的質量”概念一致，分母單位均為摩爾，因此比值1.1/1.1依舊為分量碳酸鈉與碳酸氫鈉之間的物質的量配比。

方法3：

Na2CO3產生CO2

0.1 =

NaHCO3產生CO2

平均值0.1的含義：“每9.5 g混合物生成0.1 mol CO2”，這和“每克混合物能生成多少摩爾 CO2”的概念一致。分母單位為克，因此比值53/42為分量碳酸鈉與碳酸氫鈉之間的質量配比。

方法4：

Na2CO3產生CO2

4.4 =

NaHCO3產生CO2

十字交叉法涉及的解題類型非常廣泛，除上述例題外凡平均值4.4的含義：“每9.5 g混合物生成4.4 g CO2”，這和“每克混合物能生成多少克 CO2”的概念一致。分母單位為克，因此比值53/42為分量碳酸鈉與碳酸氫鈉之間的質量配比。

4 其他案例

筆者特意找了時間詳細地向學生分析了這道題，學生恍然大悟道個中還有這般講究。不僅這道題，其他凡是符合雙組份、物理量具有加和性的題目均能使用此方法。案例如下：

例1 甲、乙兩份硫酸鋁，甲中的c(Al3+)=0.25 mol/L，乙中的c(SO42-)=1 mol/L。

將兩份溶液混合成硫酸鋁的濃度為0.25 mol/L。求甲、乙兩種溶液的體積比。（設混合后體積具有加和性）

甲中硫酸鋁濃度為0.125 mol/L，乙中硫酸鋁濃度為1/3 mol/L，混合后的濃度為0.25 mol/L。應用十字交叉法： 0.125 1/12

0.25 = 1/3 1/8

平均量0.25 mol/L的含義為“每1 L溶液中含有硫酸鋁溶質0.25 mol”，分母單位為溶液體積，因此比值2/3為兩種硫酸鋁溶液的體積分配比。

例2 相鄰兩種烷烴的混合物20 mL，完全燃燒后生成30 mL的CO2，48 mL的H2O。求該烷烴的可能組合及體積比。

解：現求出該混合物的平均分子式：C的個數為30/20=1.5個，H的個數為48×2/20=4.8個，平均分子式為C1.5H4.8。由于只有甲烷的碳原子數少于1.5，所以肯定有甲烷CH4。另一種烷烴為乙烷C2H6。體積比用十字交叉法解，由平均分子式可知H、C原子個數比為4.8/1.5=3.2，甲烷中原子個數比為4，乙烷中原子個數比為3，化成十字交叉法：

4 0.2

3.2 = 3 0.8

關鍵點：比值1/4的含義。切不可以為就是甲烷與乙烷的體積比。理由如下：平均值3.2的含義是“混合物中每個C原子對應3.2個H原子”。分母單位為C原子的個數，因此，比值1/4為甲烷和乙烷中C原子的個數配比。等摩爾的甲烷和乙烷中碳原子的個數不相等，為1:2，現又要求C原子個數配比為1:4，很容易就能得出甲烷與乙烷的體積比為1:2。

至此可以發現，正確運用十字交叉法的關鍵在于讀懂平均值的含義（等同于讀懂分量含義），根據分母物理量得出比值的配比含義，必要時再根據題意進行轉化。但不適用不具加和性的物理量，比如：求混合兩種不同pH溶液后的pH。該混合液的pH不是原各溶液pH的簡單代數之和，因此不能使用十字交叉法。相信學生們在掌握了判斷平均值分母單位這種方法后，在今后應用十字交叉法解題時明顯減低錯誤率。

參考文獻：

[1]朱春清.十字交叉法在化學計算中的應用[J]. 化學教學，2011，（5）：61~63.