差分:開啟等差數列寶藏的金鑰匙

楊彬

我們知道，導數是刻畫連續性函數性質的有力工具，反映的是瞬時變化率；而數列是一個離散的函數模型，反映的是平均變化率。差分思想是探究數列性質的有力工具，在探索數列的性質比如單調性時起著舉足輕重的作用。應用差分思想解題的常見案例之一，就是已知數列{an}的前n項和Sn的關系式，以n-1代換n得關于Sn-1的關系式，兩式相減，可得數列的通項公式 an= S1,n=1,Sn-Sn-1,n＞1，再根據通項公式進一步研究數列{an}的性質。在高三數學有關數列性質的教學中，有必要重視差分思想。本文結合一道高考題，體會差分思想在成功解決數列問題中的意義。

高考結束，筆者正試做2011年的江蘇高考數學試卷，恰好任教班級的幾位學生相約而來，向我暢談考試的感受。“試卷Ⅰ第20題之前的試題比較常規，高考前的模考中有類似題型，要說有難度的就是解答題部分的那道數列題。”這是他們對于試卷Ⅰ的評價。于是，我們共同探討第20題。

例1：設M為部分整數組成的集合，數列{an}的首項a1=1，前n項和為Sn，已知對任意的整數k∈M，當整數n＞k時，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）都成立。（1）設M={1}，a2=2，求a5的值；（2）設M={3,4}，求數列{an}的通項公式。探討活動的細節筆錄如下。

考生1說，這道數列題的第一小問并不難，為第二小問的探究活動起著鋪墊作用。由題知，當n＞k=1時，Sn+1+Sn-1=2（Sn+S1），根據an= S1,n=1,Sn-Sn-1,n＞1，通過數列的通項公式展開移項，得Sn+1-Sn=

Sn-Sn-1+2，即an+1-an=2（n＞1），所以在數列{an}中，a2,a3,a4…是一個首項與公差都等于2的等差數列，可得an=2+（n-2）×2=2n-2（n＞1），所以a5=8。（考生1喜悅之情溢于言表）。“這是典型的運用差分思想解決數列問題案例，屬于常規思路。”我為他們高興。

“試題的真正難度在第2小問。”考生2插嘴道，“當k∈M={3,4}且n＞k時，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk），根據差分思想解答數列問題的思路，可得Sn+1+k+Sn+1-k=2（Sn+1+Sk），兩式相減得an+1+k+an+1-k=2an+1，它是等差數列的必要條件。”考生2繼續說：“移項得an+1+k-an+1=an+1-an+1-k，即an+4-an+1=an+1-an-2（k=3,n＞3）①，an+5-an+1=an+1-an-3（k=4,n＞4）②，繼續深入處理這兩個關系式中所涵蓋的信息，論證數列的性質成為解題的關鍵，我也沒能繼續做下去。”

那么，①、②兩式形式不同，能得什么結論呢？一時陷入沉思之中：數列{an}已經呈現等差數列的特征，如果屬于等差數列，必須論證2an=an+1+an-1（n＞），即確保數列{an}（n＞1）任意連續三項之間滿足等差中項關系，然后結合a1=1求出公差的大小。

繼續審視①、②兩式，尋找兩式的共同點。在筆者引領下，他們仔細觀察，發現兩個式子中n的取值范圍有差異。考生3注意到在①式中，至少有a2，a5，a8，a11，a14，…成等差數列，還有a3，a，a9，…a4，a7，a10，…分別也成等差數列，下標均是以3為公差的等差數列中的數。（考生4補充道：這幾個等差數列中沒有a1的影子。）這些都是等差數列的必要條件，不足以得出數列{an}是等差數列結論。

有規律可循嗎？可否整合為一體？通過抽象概括，逐步抽象出該數列如下性質：an，an+3，an+6，an+9，…（n≥2），即an-6，an，an+3，an+6，…（n≥8）為等差數列；類似的，在②式中，至少有a2，a6，a10，a14， …成等差數列，下標是以4為公差的等差數列，類似的，抽象出an，an+4，an+8，an+12，…（n≥2），即an-6，an-2，an+2，an+6， …（n≥8）成等差數列。

綜上所述，當（n≥8）時，進一步分別可得2an=an+3+an-3=an+6+an-6③，且an+6+an-6=an+2+an-2④。故當(n≥8)時，2an=an+2+an-2⑤，這與要推導的2an=an+1+an-1（n＞1）還有一些距離。

“好！”由于受能力與時間限制，雖然他們在考場上沒有給出更多的思考過程，但我也為考生3的“馬后炮”大聲叫好。我們繼續依照差分思想探究下去。在⑤式中，以n-1代換n，可得當n≥9時，an-3，an-1，an+1，an+3成等差數列；聯立③、④、⑤式，我們得到了2an=an+1+an-1（n≥9）。“注意到n≥9，這表明數列{an}中的項a8，a9，a10，…構成等差數列，設公差等于d。可別高興過早，畢竟n≥9。”考生5及時提醒道。那么，數列{an}的前7項之間關系如何呢？我們又陷入了思索中。不過，我們憑直覺猜想到數列{an}應該至少從項a2開始構成一個等差數列。

回過頭，再看先后得到的幾個有意義的結論。根據③式，可知當n≥8時，2an=an-6+an+6⑥，其中an，an+6定是等差數列a8，a9，a10，…中的項。當n≥14時，連同an-6也是等差數列a8，a9，a10，…中的項。

沒有比差分更有效的工具了。在③式中，再以n+1代換n，當n≥7時，2an+1=an-5+an+7⑦。⑥、⑦兩式相減，當8≤n≤14（只要8≤n≤14就足夠了）時，得2（an+1-an）=an-5-an-6+（an+7-an+6），移項得an-5-an-6=2d-d=d，具體地說就是a3-a2=a4-a3=…=a8-a7=d，所以在數列{an}中，a2，a3，a4，…是一個公差為d的等差數列。看，我們又成功地邁出了一大步。那么如何求公差d呢？計算可得d=2，數列{an}的通項公式為an=2n-1.（過程略）

反思與評價：其一，差分思想在判斷數列是否為等差或等比數列的過程中起著關鍵作用；其二，運用差分思想時，注意n的取值范圍的變化；其三，解答有關數列問題的過程中，注意運用差分的思想方法，提高推理論證能力；其四，差分思想在解決等差數列問題中比較重要，要切實抓住等差數列的本質。不過，由于難度太大，時間緊，多數考生望而卻步。從高考選拔的角度看，其區分度不明顯。

（邳州市炮車中學）