運用應用題等量關系的幾個誤區和糾正

黃佩葵

常聽到有的中小學生說，在列方程解決問題時，對題目出現的多個等量關系不知所措，所以難打開解題之路，因此怕解應用題。學生對列方程解決問題的這種困惑，原因之一是我們有的教師在列方程解決問題的教學中，對等量關系的理解及應用存在誤區，或者引導學生探討等量關系不夠透徹。為了攻破這一困惑，下面淺談關于應用等量關系的幾個誤區和糾正。

誤區之一：忽略了“公式”這一等量關系

有的教師在分析應用題“題中有幾個等量關系”時，往往把例如“工作量=工作效率×工作時間”這樣公式類的等量關系忽略了。公式本身就是幾個數量之間的相等關系，是等量關系的一種類型。應用題中的等量關系可以分為兩大類：一是不同量之間的相等關系（一般是公式），題目一般不另外寫出來，如“路程=速度×時間，總價=單價×時間”等等。二是同一種量之間的相等關系，如“甲的速度=2倍乙的速度”等。公式類的等量關系在解決問題中有著重要的作用，在應用題教學中不容忽略。

誤區之二：等量關系有“主次”之分

曾在某市的教育類刊物上看到一篇論文，作者在論述怎樣列方程解決問題時舉例了五年級上冊的一道題：“小明家養的白兔和黑兔共有18只，白兔只數是黑兔的5倍，小明家的黑兔和白兔各有多少只？”作者在讓學生自主探索之前提出這樣的思考問題：題目的兩個等量關系中，哪一個是列方程的依據？當時學生表明對該思考題不太理解，該教師這樣引導：“‘白兔是黑兔的5倍，體現兩個未知數的倍數關系，而‘白兔和黑兔共有18只是主要的等量關系，也就是列方程的依據。”其實，解決問題中題目所給的多個等量關系都沒有主次之分，也沒有規定哪個等量關系就是列方程的依據。該教師如此對等量關系分“主次”，還規定哪個是列方程的依據，學生怎能理解并區分等量關系的“主次”呢?又怎么可能判別哪個等量關系是列方程的依據呢？所以，學生困惑了。

誤區之三：等量關系只用于列方程

正因為有“等量關系只用于列方程”的誤區，所以有的教師出現了如上面舉例中“哪個是列方程的依據”的定向誤導。其實，應用題中的等量關系，哪一個都可以作為列方程的依據，但是又不僅用于列方程。解決問題中的每一個等量關系都可以有兩種用處：①用于表示所設未知數數量之外的其他未知數量，②用于列方程。但是在一道題中，同一種解題方法，每個等量關系只用一次。

例如，上例中的兩個等量關系：①白兔的只數=黑兔的5倍（倍比關系），②白兔只數+黑兔只數=18只（和差關系）。解題時如果先求黑兔的只數，可先設黑兔有X只。解法一：用等量關系①表示白兔的只數是5X只，用等量關系②列方程：5X+X=18。解法二：用等量關系②表示白兔的只數是（18-X）只，用等量關系①列方程：18—X=5X.因為五年級沒有學到18—X=5X這類方程的解法，所以教師和學生對這種解法的探討點到為止，從而讓學生明白了現在為什么只用和差關系列方程這種解題方法。由此可見，等量關系不僅用于列方程，而且還可以用來表示未知數量，這樣就可以使學生對等量關系的應用有了比較系統的認識。

誤區之四：列方程（組）解決問題，找出一個（或兩個）等量關系就可以了

一道應用題的等量關系，不可能只是有一個或兩個，特別是初中階段的應用題，一道題往往有多個等量關系。如果約束學生只找兩個等量關系，那么，哪兩個是所需找的等量關系呢？學生會因此又困惑了。

其實，在列方程解應用題時，對于題目中的所有等量關系都必須逐一明確，因為每個等量關系在解題中都會用上。只有正確認識和使用等量關系，學生才能輕松打開解題之路，并且一題多解。現以七年級的一道列方程解決問題的習題來展示對等量關系的理解、應用以及應用方法的多種形式。

王平要從甲村走到乙村，如果他每小時走4千米（速度1），那么走到預定時間，離乙村還有0.5千米，如果他每小時走5千米（速度2），那么比預定時間少用半小時就可以到達乙村，求預定時間是多少小時？甲村到乙村的路程是多少千米？

這道應用題，共有三個等量關系。①公式即不同量之間的關系：路程=速度X時間；②路程之間的關系：速度2走的路程- 0.5千米=速度1走的路程；③時間之間的關系：速度1的時間=速度2的時間—0.5小時。

其中，兩個速度都已經知道，所以這兩個速度之間不存在某種等量關系，兩種速度所走的路程和所用的時間都是未知數量，存在某種等量關系。

解法一：先求預定時間（速度1走的時間）。設預定時間是X小時，用等量關系③表示速度2走的時間為（X-0.5）小時，用等量關系①表示速度1、速度2的路程分別為4X千米、5（X-0.5）千米，還剩下的等量關系②則用于列方程為：5（X-0.5）-0.5=4X。

解法二：先求甲村到乙村的路程。設甲村到乙村的路程為Y千米（即速度2走的路程），用等量關系②表示速度1走的路程為(Y-0.5)千米，用等量關系①表示速度1、速度2所走的時間分別為y-0.5/4小時（即預定時間），y/5小時，則剩下的等量關系③用于列方程為： y-0.5/4= y/5-0.5。

解法三：同時求題目所求的兩個未知數量，設預定的時間是X小時，甲村到乙村的路程是Y千米。

用等量關系②表示速度1走的路程為（Y-0.5）千米，用等量關系③表示速度2走的時間為(X-0.5)小時。則剩下的等量關系①，用于列方程組為：y-0.5=4x、y=5(x-0.5）。

由本題的三種解法可以看出，題中的三個等量關系都需要尋找并且應用，才算完全正確地解決了問題。

總之，只有走出應用題等量關系的誤區，正確、靈活地應用等量關系，教師的引導才能輕松自如，學生的學習才能得心應手，學生對列方程解決問題的知識才不會感到困惑，不再說“怕”字。應用題（解決問題）是中小學數學課程的重要教學內容，這一板塊知識的迎刃而解，將在一定程度上解除學生對數學的畏懼心理，提高他們學習數學的興趣，從而促進數學教學質量的整體提高。

（貴港市港北區石羊塘學校）