培養抽象概括能力,提高知識綜合運用

郭美華

在中學數學教學中,除了要培養運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和自學能力外,我認為還要注意培養學生的數學概括能力和數學抽象能力。數學抽象概括能力是數學思維能力,也是數學能力的核心。它具體表現為對概括的獨特的熱情,發現在普遍現象中存在著差異的能力,在各類現象間建立聯系的能力,分離出問題的核心和實質的能力,由特殊到一般的能力,從非本質的細節中使自己擺脫出來的能力,把本質的與非本質的東西區分開來的能力,善于把具體問題抽象為數學模型的能力等方面。現階段數學抽象能力,是指出把生產或生活中遇到的實際問題,抽象為一個數學問題來解決的能力。它是我們常說的“分析問題和解決問題的能力”中最重要的部分,是數學本身的“高度抽象性與應用廣泛性”辯證統一的必然結果。它的重要性是顯而易見的。數學的抽象是一個逐級抽象、逐次提高,抽象再抽象的過程。數學教學中充分注意到這個特點,就能有效地培養學生的抽象概括能力。

從雜亂無章的現實世界中,由表及里,去偽存精,生活問題消化、溶解、提煉、抽象為一個數學問題來解決,卻不是一件輕而易舉的事。不同數學能力的學生有不同的差異。具有數學能力的學生在收集數學材料所提供的信息時,明顯表現出使數學材料形式化,能迅速地完成抽象概括的任務,同時具有概括的欲望,樂意地、積極主動地進行概括工作。而現在學生中普遍存在怕解應用題的現象,就是缺乏這種能力的反映。

數學教學中如何培養學生的抽象概括能力呢？我們認為從以下幾方面入手:

首先,教學中將數學材料中反映的數與形的關系從具體的材料中抽象出來,概括為特定的一般關系和結構,做好抽象概括的示范工作,要特別注意重視"分析"和"綜合"的教學。應該注意從實例引入,通過實物(包括教具)直觀、圖象直觀或語言直觀,形成直觀形象,提供感性材料,這是促進和發展學生抽象思維能力的有效途徑。

例如,通過溫度的升降,貨物的進出口等實例,引進意義相反的量；通過觀察教室里墻面與墻面的交線和墻面與地面的交線之間的關系,引進異面直線垂直的概念；在函數的教學中首先從學生熟悉的函數入手,引出函數傳統定義,然后引導學生利用映射給出函數現代定義。盡量不讓學生由于陌生而產生對新概念的恐懼。接著在進行兩個概念的比較的時候又依托具體例子,化抽象為具體,較好地解決了這一問題。函數是抽象性很強的概念,為使學生比較容易地理解這一概念,我多次使用學生比較熟悉的生活中的實例來解釋和理解函數的概念,同時也請同學自編一些函數題目,并把自己所編的函數題目解答清楚,這樣可使抽象的問題具體化。

數學的抽象性還表現為廣泛而系統地使用了數學符號,具有詞語、詞義、符號三位一體的特性,這是其它學科所無法比擬的。例如“平行”這個詞,其詞義是表示空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的一種特定位置關系,有專門符號“//”表示,并可用具體圖形表示。

為了培養和發展學生的抽象思維能力,教師的主要任務在于創設具體的數學情境,啟發引導學生積極參與教學活動,防止包辦代替。現今教材中對一個新的例題的證明,差不多全都是采用演繹法給出的,即從已知的概念、定理出發,通過邏輯推理,最后得到新的命題。這樣便在一定程度上忽視了發展學生歸納、概括能力的訓練和培養。但是,我們縱觀科學史上重大的定理、定律的發現,往往都是先由猜想、假說,而最后才經證明而成為定論的。這些猜想、假說,一般都是科學家們從一些特殊的、偶然的、具體的事例中得到啟發后提出的來的。因此,我們教師在講課中就要有意識地彌補教材的這個缺陷。對學生要十分注意引導他們積極思維,大膽猜想,進行合理的總結推廣,逐步培養他們從特殊的事例中概括出普遍性規律的能力。

其次,教學中將學生已有定理,公理,結論運用到實際中去,發揮知識的作用,進一步培養學生的分析問題、解決問題的能力,這是從抽象到具體的一個“反芻”的過程。從抽象到具體是認識的又一個階段,它是在從具體的感性認識上升到抽象的理性認識的基礎上的又一次飛躍,它屬于整個認識過程的更重要的階段,也就是應用數學理論去初步解決問題,使理性認識具體化的新階段。

從抽象到具體,是讓學生在掌握抽象的數學理論的基礎上,用來解決具體的實際問題,并為進一步的從具體到抽象做好準備。解答數學題的過程,主要是抽象的數學理論的運用過程,是形成數學的相關技能的過程,同時,也是進一步培養和發展觀察能力和分析、綜合等邏輯思維能力的過程；在解答難度較大的數學題時,除了運用抽象理論外,還可能學到一些新的數學思想和方法,對于培養學生的創造性思維能力也有一定的作用。

教師可以配置一定數量生產、生活中的應用題,讓學生從實踐中領會把實際問題抽象為數學問題的思路與方法。如"復利公式"無論地計算細胞分裂、森林繁殖、人口增長、勞動生產率的提高、銀行利息的計算等問題上都適用、是一類自然現象能把一些典型的數學模型告訴學生,這不單是給學生以解決實際問題一把通用的鑰匙,而更重要的是通過對它們的介紹、敘述、求解,培養學生的數學抽象能力上能起示范性的作用。同時又能夠將抽象的知識運用到實際中去,循環往復,不斷地實施具體—— 抽象—— 具體,循環往復的過程,才能不斷將學習向縱深發展,使認識逐步提高和深化。

數學抽象概括能力是一種綜合能力,需要一個長期的培養過程,更需要學生的親身參與,教師要在數學教學中通過設計恰當的教學模式,對學生抽象概括能力的培養施以積極的影響,切實地培養學生的抽象概括能力。“授人以魚”只能滿足一日之需；而“授人以漁”卻能使人終生受用。同樣,教給學生的思維方法能使他們終身受益。