對數函數的定義域和值域對數函數的定義域和值域

侯淦洪

【摘要】對數函數，特別是對數復合函數的定義域以及值域，由于它牽涉的知識點比較多，在中學數學教學中占有相當重要的地位，筆者根據平時教學經驗的積累，總結了一些關于對數函數的定義域和值域的問題，與同行切磋。

【關鍵詞】定義域；值域；對數函數

一、簡單對數函數的定義域和值域的實用判別法則

設y=logax(a>0,a≠1)為簡單對數函數，則有如下判別法則：

（1）當a>1，函數y=logax在定義域(0,+∞)單調增加，沒有最大值，也沒有最小值，函數值域為(-∞,+∞)；在定義域［x1,x2］(0

（2）當0

二、對數復合函數的定義域和值域的實用判別法則

設y=logau=logag(x)。(a>0,a≠1)是對數復合函數，其中中間變量u=g(x)叫內函數，y=logag(x)叫外函數，則對數復合函數的定義域是{x|g(x)>0}，在這個定義域內，先確定內函數u=g(x)的值域，然后再在u的值域范圍內討論對數復合函數的單調性與最值，從而得到對數復合函數的值域。

（1）當a>1，如果u=g(x)的取值范圍是(-∞,+∞)，沒有最大值，也沒有最小值，則對數復合函數y=logag(x)在(-∞,+∞)內也是單調增加，沒有最值，值域為(-∞,+∞)；如果u=g(x)在取值［u1,u2］單調增加，則對數復合函數在［u1,u2］也單調增加，有最小值y1=logau1=logag(x1)，有最大值y2=logau2=logag(x2)，這時，復合對數函數的值域為［y1,y2］；如果u=g(x)在［u1,u2］單調減少，則對數復合函數在［u1,u2］也單調減少，有最大值y1=logau1=logag(x1)，有最小值y2=logau2=logag(x2)，這時，復合對數函數的值域為［y2,y1］。

（2）當0

例1 求函數y=log2(x2+2x+5)的定義域和值域。

解 要使函數有意義，則需x2+2x+5>0。

∵Δ=b2-4ac=22-4×1×5=-16<0,

∴對于任意的實數x，恒有x2+2x+5>0，

故對數復合函數y=log2(x2+2x+5)的定義域是(-∞,+∞)。

∵x0=-b2a=-22×1=-1∈(-∞,+∞)，y0=4ac-b24a=4×1×5-224×1=4，

∴函數u=x2+2x+5，當x=-1時，有最小值y0=4。

即函數u=x2+2x+5的值域是［4,+∞）。

∴函數y=log2u在［4,+∞）是單調增函數，且當u=4時，y=log24=2，故對數復合函數y=log2(x2+2x+5)的值域是［2,+∞)。

例2 求函數y=log12(-x2+4x-3)的定義域和值域。

解 設u=-x2+4x-3是內函數，

要使函數有意義，則需-x2+4x-3>0，

解之得1

故函數y=log12(-x2+4x-3)的定義域是［1,3］。

x0=-42×(-1)=2∈［1,3］，

y0=4×(-1)×(-3)-424×(-1)=1。

∴內函數u=-x2+4x-3在x0=2時，有最大值u=1，當x=1或者x=3時，有最小值u=0。

∴內函數u=-x2+4x-3的值域是［0,1］,函數值單調增加，

∴對數復合函數y=log12(-x2+4x-3)在定義域內是單調減少，但當u=1時，y=log12u=0，當u=0時，y→-∞。

故對數復合函數y=log12(-x2+4x-3)的值域是(-∞,0］。

例3 求函數y=lgx+1x-1的定義域與值域。