一個不等式ln(1+x)≤x(x>-1)的引申和應用

陳孟算

筆者翻閱近幾年各地高考試題及各地模擬卷，發現大多試卷壓軸題涉及數列不等式，因為這類題目既需要證明不等式的基本思路和方法，又要結合數列本身的結構特點，有著較強的技巧，對學生的要求較高，具有較好的區分度。本文從一個簡單不等式探討這類問題。

一、一個結論

設x>1，則ln(1+x)≤x，當且僅當x=0時等號成立。

（*）

證明 構造函數g(x)=ln(1+x)-x，

則g′(x)=11+x-1=-x1+x，

且當-10時，g′(x)<0。

∴當x=0時，g(x)取得最大值，即g(x)≤g(0)=0。

故ln(1+x)≤x，當且僅當x=0時等號成立。

二、四個引申

引申1 已知n∈N+且n≥2，求證：lnn<1+12+13+…+1n-1。

證明 由（*）式，令x=1n，得

ln1+1n=lnn+1n<1n。

∴ln21+ln32+…+lnnn-1<1+12+…+1n，

即lnn<1+12+…+1n。

引申2 已知n∈N+且n≥2，求證：12+13+…+1n

證明 由（*）式，令x=-1n，得ln1-1n<-1n，

即1n

∴12+13+…+1n

即12+13+…+1n

引申3 已知n∈N+且n≥2，求證：ln22?ln33?…?lnnn<1n。

證明 由（*），令x=n-1，得lnn

兩邊除以n，得lnnn

∴ln22?ln33?…?lnnn<12×23×…×n-1n=1n。

引申4 已知n∈N+且n≥2，求證：1ln2+1ln3+1ln4+…+1lnn>32。

證明 由（*），令x=n2-1，得lnn2

即lnn2n2-1。

∴1ln2+1ln3+1ln4+…+1lnn

>222-1+232-1+242-1+…+2n2-1

=1-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1

=32-1n-1n+1>32。

以上不等式的證明，都是以ln(1+x)≤x(x>-1)為背景，通過對其適當的賦值，合理的變形而得到。因此在學習中，要善于探究知識產生的源頭和背景，善于用聯系的觀點思考問題，舉一反三，提高解題能力和學習效率。

三、兩個應用

例1 （2009年稽陽聯誼學校高三聯考）已知函數f(x)=x2+2aln(1-x)(a∈R)，g(x)=f(x)-x2+x。

（1）當a=12時，求函數g(x)的單調區間和極值；

（2）當f(x)在［-1，1］上是單調函數，求實數a的取值范圍；

（3）若數列{an}滿足a1=1且(n+1)an+1=nan，Sn為數列{an}的前n項和，求證：n≥2時，Sn<1+lnn。

解 （1）（2）略。

（3）由(n+1)an+1=nan，得an+1an=nn+1。

設a1=1,利用連乘法，得an=1n。

∴Sn=1+12+…+1n，利用引申2，得Sn<1+lnn。

例2 （湖南師大附中2010年第八次月考）已知f(x)=ln(1+x)-x，數列滿足a1=12，ln2+lnan+1=an+1?an+f(an+1?an)。

（1）求證：數列1an-1是等差數列；

（2）證明不等式a1+a2+…+an

解 （1）略。

（2）由（1）知an=nn+1=1-1n+1，

∴a1+a2+…+an=1-12+1-13+…+1-1n+1

=n-12+13+…+1n+1。

由(*)式，令x=1n+1，得1n+1>lnn+2n+1。

∴12+13+…+1n+1>ln32+ln43+…+lnn+2n+1=lnn+22，

∴a1+a2+…+an

【參考文獻】

陳世明。函數f(x)=1+1xx的兩個基本性質及應用。中學數學，2009（9）。