圖形背后的故事

杜興宇

1979年，首次全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽二試的題六是：

如圖1，兩圓O1，O2相交于點(diǎn)A，B，圓O1的弦BC交圓O2于點(diǎn)D，圓O2的弦BF

圖1交圓O1于點(diǎn)E，證明：（1）若∠CBA=∠FBA，則CD=EF；（2）若CD=EF，則∠CBA=∠FBA．

證明連接AC，AD，AE，AF，則∠ACD=∠ACB=∠AEF，∠ADC=∠AFB=∠AFE，而有△ACD∽△AEF，從而有ACAE=CDEF，于是CD=EF贏C=AE贏C=AE凇螩BA=∠FBA．

“舊時(shí)王謝堂前燕，飛入尋常百姓家．”

這道試題平平常常，在現(xiàn)在九年級(jí)的習(xí)題里就能夠找到，由此可見，數(shù)學(xué)競(jìng)賽并非高不可攀．

下面，我們來(lái)看31年之后這道試題又是如何演化為全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營(yíng)賽題的！

顯然，再用這道試題作為高水平的冬令營(yíng)賽題是很不合適的，那么怎么辦？命題人的做法是：改造成題，推陳出新．

1．變換試題敘述方法

命題1如圖1，兩圓O1，O2相交于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B的一條直線分別交圓O1，O2于點(diǎn)C，D，過(guò)點(diǎn)B的另一條直線分別交圓O1，O2于點(diǎn)E，F(xiàn)，證明：（1）若∠CBA=∠FBA，則CD=EF；（2）若CD=EF，則∠CBA=∠FBA．

圖2如果用命題1作為賽題，也不太合適，因?yàn)閰①愡x手對(duì)于圖1是非常熟悉的！

2．在變換試題敘述方法的同時(shí)變換圖形

命題2如圖2，兩圓O1，O2相交于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B的一條直線分別交圓O1，O2于點(diǎn)C，D，過(guò)點(diǎn)B的另一條直線分別交圓O1，圓O2于點(diǎn)E，F(xiàn)，證明：（1）若∠CBA=∠FBA，則CD=EF；（2）若CD=EF，則∠CBA=∠FBA．

此時(shí)，圖形陌生了！但如果用命題2作為賽題，當(dāng)然也不太合適，因?yàn)閰①愡x手對(duì)于題目的條件與結(jié)論是非常熟悉的！

3．增加條件并且變換結(jié)論

如圖3，令直線CF分別交圓O1，O2于點(diǎn)P，Q，設(shè)M，N分別是PB，QB的中點(diǎn)，則CM，F(xiàn)N都是△BCF的角平分線，注意到CD=EF蕁螩BA=∠FBA，即知CM，F(xiàn)N，BA交于一點(diǎn)

圖3（設(shè)為X），而有XC?XM=XA?XB=XF?XN，于是C，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共圓，至此，即可構(gòu)成一道高水平的賽題：

命題3 如圖3，兩圓O1，O2相交于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B的一條直線分別交圓O1，O2于點(diǎn)C，D，過(guò)點(diǎn)B的另一條直線分別交圓O2，O2于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線CF分別交圓O1，O2于點(diǎn)P，Q，設(shè)M，N分別是PB，QB的中點(diǎn)，求證：若CD=EF，則C，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共圓．（2010年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題一）

“做學(xué)問(wèn)當(dāng)于無(wú)疑處有疑．”一道題目做完之后，“不斷變換你的問(wèn)題”，往往可以提出一些新的問(wèn)題，解題貴在精而不在多，這個(gè)“精”就體現(xiàn)在解題后的思考上．

數(shù)學(xué)多少事，盡在變換中！