基本初等函數乘積的不定積分基本初等函數乘積的不定積分

吳亞敏

【摘要】本文給出基本初等函數15種乘積的不定積分公式結果。在15種結果中，有11種情況的積分結果可以用初等函數表示出來，有4種情況的積分結果不能用初等函數表示出來。

【關鍵詞】基本初等函數；乘積；不定積分；初等函數

【課題論文】湖北省教育科學“十二五”規劃2011年立項課題（項目編號2011B266）

一、冪函數與指數函數乘積的不定積分

1。∫xnaxdx=ax∑ni=0(-1)i1(lna)i+1(xn)(i)+C。

二、冪函數與對數函數乘積的不定積分

2。∫xnlogaxdx=xn+1(n+1)lnalnx-1n+1+C。

三、冪函數與三角函數乘積的不定積分

3。∫xncosxdx=∑ni=0(xn)(i)(sinx)(i)+C。

4。∫xnsinxdx=-∑ni=0(xn)(i)(cosx)(i)+C。

四、冪函數與反三角函數乘積的不定積分

5。∫xnarcsinxdx=1n+1xn+1arcsinx-∫xn+11-x2dx。

6。∫xnarccosxdx=1n+1xn+1arccosx+∫xn+11-x2dx。

其中：In+1=∫xn+11-x2dx(令x=sint可得)=-xn1-x2n+1+nn+1In-1,…,

五、指數函數與對數函數乘積的不定積分

7。∫axlogbxdx=1lnbax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(lnx)(i)+C。

六、指數函數與三角函數乘積的不定積分

8。∫eaxcosbxdx=1a2+b2eax(bsinbx+acosbx)+C。

9。∫eaxsinbxdx=1a2+b2eax(bsinbx-acosbx)+C。

七、指數函數與反三角函數乘積的不定積分

10。∫axarcsinbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arcsinbx)(i)+C。

11。∫axarccosbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arccosbx)(i)+C。

八、對數函數與三角函數乘積的不定積分

12。∫cosbxlnxdx=∑∞i=01bi+1(sinbx)(i)(lnx)(i)+C。

13。∫sinbxlnxdx=-∑∞i=01bi+1(cosbx)(i)(lnx)(i)+C。

九、對數函數與反三角函數乘積的不定積分

14。∫arcsinxlnxdx=(lnx-1)(xarcsinx+1-x2)-ln1-1-x2x-1-x2+C。

15。∫arccosxlnxdx=(lnx-1)(xarccosx-1-x2)+ln1-1-x2x+1-x2+C。

十、三角函數與反三角函數乘積的不定積分

16。∫sinxarcsinxdx=-cosxarcsinx+∫cosx1-x2+C。

17。∫sinxarccosxdx=-cosxarccosx-∫cosx1-x2+C。

18。∫cosxarcsinxdx=sinxarcsinx-∫sinx1-x2+C。

19。∫cosxarccosxdx=sinxarccosx+∫sinx1-x2+C。

十一、冪函數與冪函數乘積的不定積分

20。∫xmxndx=1m+nxm+n+c(m+n≠-1),∫xmxndx=ln|x|+c(m+n=-1)。

十二、指數函數與指數函數乘積的不定積分

21。∫axbxdx=axbxlna+lnb+C。

十三、對數函數與對數函數乘積的不定積分

22。∫logaxlogbx=1lnalnb∫ln2xdx,

∫ln2xdx=xln2x-2∫lnxdx=xln2x-2xlnx+2x+C。

十四、三角函數與三角函數乘積的不定積分

23。∫sinxsinxdx=12∫（1-cos2x)dx=12x-14sin2x+C。

24。∫sinxcosxdx=12sin22x+c。

25。∫cosxcosxdx=12∫(1+cos2x)dx=12x+14sin2x+C。

十五、反三角函數與反三角函數乘積的不定積分

26。∫(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2-2∫xarcsinx1-x2dx=x(arcsinx)2+2∫arcsinxd1-x2=x(arcsinx)2+21-x2?arcsinx-2x+C。

27。∫arcsinxarccosxdx=∫arccosxd(xarcsinx+1-x2)=arccosx(xarcsinx+1-x2)-∫xarcsinx+1-x21-x2dx=arccosx(xarcsinx+1-x2)-x+∫arcsinxd 1-x2=arccosx(xarcsinx+1-x2)+1-x2arcsinx-2x+C。

28。∫(arccosx)2dx=x(arccosx)2+2∫xarccosx1-x2dx=x(arccosx)2-2∫arccosxd1-x2=x(arccosx)2-21-x2arccosx+2x+C。

上面15種情況中：有11種情況（一、二、三、四、六、九、十一、十二、十三、十四、十五）的積分結果可以用初等函數表示出來，有4種情況（五、七、八、十）的積分結果不能用初等函數表示出來。

例 求∫x3(e-x+lnx+cosx)dx。

解 ∫x3(e-x+lnx+cosx)dx=e-x∑3i=0(-1)i(x3)(i)(-1)i+1+x44lnx-14+∑3i=0(x3)(i)(sinx)(i)=-e-x(x3+3x2+6x+6)+x44lnx-14+(x3-6x)sinx+(3x2-6)cosx+c。

【參考文獻】

［1］侯風波。高等數學：第二版［M］。北京：高等教育出版社，2000：89-104。

［2］中國高等教育學會組織編寫，侯風波主編。應用數學（理工類）：第一版［M］。北京：科學出版社，2007：80-92。