有界性定理的新證法有界性定理的新證法

張志國

【摘要】本文利用區間套和連續函數的局部有界性給出了閉區間上連續函數的有界性定理的一種全新的證明方法。

【關鍵詞】閉區間列；區間套；局部有界性

1幣 言

連續函數是數學分析中非常重要的一類函數。連續是討論函數的導數、微分、中值定理、積分等的基礎，而閉區間上連續函數的性質也顯得非常重要。在閉區間上函數的性質中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基礎。

在很多數學教材和文獻中，給出了有界性定理的證明方法。大體上歸結為兩類：一是應用有界覆蓋定理，一是應用致密性定理。

本文通過區間套定理和局部有界性定理給出了有界性定理的新的證明方法。

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定義1 設閉區間列{［an,bn］}具有如下性質：

（1）［an,bn］劍踑n+1,bn+1］，n=1,2,…；

（2）limn→∞(bn-an)=0，

則稱{［an,bn］}為閉區間套，或簡稱區間套。

定理1 （區間套定理）若{［an,bn］}是一個區間套，則在實數系中存在唯一的一點ξ，使得ξ∈［an,bn］，n=1,2,…，即an≤ξ≤bn,n=1,2,…。

推論 若ξ∈［an,bn］(n=1,2,…)是區間套{［an,bn］}所確定的點，則對任給的ξ>0，存在N>0，使得當n>N時有［an,bn］糢(ξ；ε)。

定理2 （局部有界性）若函數f(x)在點x0連續，則f(x)在某U(x0)內有界。

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有界性定理 若函數f(x)在閉區間［a,b］上連續，則f(x)在［a,b］上有界。

證明 （用反證法）假設f(x)在［a,b］上無界。

將［a,b］等分為兩個子區間，則其中至少有一個子區間，使得f(x)在其上無界。記這個子區間為［a1,b1］，則［a1,b1］跡踑,b］，且b1-a1=12(b-a)。

再將［a1,b1］等分為兩個子區間，同樣，其中至少有一個子區間，使得f(x)在其上無界。記這個子區間為［a2,b2］，則［a2,b2］跡踑1,b1］，且b2-a2=12(b1-a1)=122(b-a)。

重復上述步驟并不斷地進行下去，則得到一個閉區間列{［an,bn］}，它滿足

［an,bn］劍踑n+1,bn+1］,n=1,2,…，bn-an=12n(b-a)→0(n→∞)。

即{［an,bn］}是區間套，且其中每一個閉區間都使得f(x)在其上無界。

由區間套定理，存在唯一的一點ξ∈［an,bn］，n=1,2,…，由定理1的推論可知，對于任意的ε>0，存在N>0，使得當n>N時有［an,bn］糢(ξ;ε)。

即f(x)在ξ的ε鄰域U(ξ;ε)無界。這與連續函數的局部有界性定理矛盾。從而證得連續函數f(x)在［a,b］有界。

【參考文獻】

［1］華東師范大學數學系。數學分析（第三版）。北京：高等教育出版社，2001。

［2］嚴子謙，尹景學，張然。數學分析。北京：高等教育出版社，2004。