導數在經濟中的應用初析導數在經濟中的應用初析

劉亞敏

目前，高等學校的課程改革正在全面深入推進，高等數學是高等學校的一門公共必修基礎課，它的改革也變得越來越迫切，隨著社會的進步與科學的發展，對高等數學課程的要求越來越高，賦予的內涵也越來越豐富。今日高等數學不僅要理論知識系統嚴謹，而且要有應用性，要結合所有的科技領域、社會的各個行業、人們的日常生活和工作，大量增加高等數學的應用篇幅，為學生繼續學習后續專業課程奠定必要的數學基礎，同時，也為提高學生應用數學知識解決實際問題的意識和能力提供豐富的素材。下面，筆者僅就導數在經濟分析中的應用略做一些探討。

一、導數在邊際分析中的應用

邊際分析研究的是經濟函數的絕對改變量與絕對變化率，它所分析的是一個經濟變量改變一個單位時另一個經濟變量改變多少。在經濟分析中，描述一個經濟變量y對于另一個經濟變量x的變化通常要用到平均變化率和瞬時變化率這兩個概念，平均變化率就是函數增量與自變量增量之比，而瞬時變化率就是函數對自變量的導數，即當自變量增量趨于零時平均變化率的極限。如果函數y=f(x)在x0處可導，則在(x0，x0+Δx)內的平均變化率為ΔyΔx；在x=x0處的瞬時變化率為limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=f′(x0)，此式表示y關于x在“邊際上”x0處的變化率。經濟學中稱達到x=x0前或后一個單位時y的變化為邊際變化。實際上，“邊際”就是導數在經濟分析中的代名詞。即經濟函數y=f(x)對自變量x的一階導數f′(x)稱為f(x)的邊際函數，記作My。邊際函數My=f′(x)的經濟意義：在自變量x水平上，當自變量改變一個單位時經濟函數y=f(x)改變量的近似值。當然，隨著經濟變量x和y的具體含義的不同，邊際函數經濟意義的具體含義也有所不同。比如:設生產某產品q單位時所需要的總成本函數為C=C(q)，則稱MC=C′(q)為邊際成本。邊際成本的經濟含義是：當產量為q時，再生產一個單位產品所增加的總成本為C′(q)。

在經濟分析中涉及的不僅有邊際成本，還有邊際收益、邊際利潤、邊際需求，等等，它們在數學上都可以表達為各自總函數的導數。

例如:某企業對利潤及產品的產量情況進行大量統計分析后，得出總利潤L=L(x)（元）與每月產量x（噸）的關系為：L(x)=250x-5x2，試確定每月生產10噸，25噸，30噸的邊際利潤，并作出經濟解釋。

顯然，邊際利潤L′(x)=250-10x，則L′（10）=150，L′（25）=0，L′（30）=-50，上述結果表明:當每月產量為10噸時再增加一噸，利潤將增加150元；當每月產量為25噸時再增加一噸，利潤不變；當每月產量為30噸時再增加一噸，利潤將減少50元。這說明：對于一個企業來說，并非生產的產品數量越多，利潤就越高。

因此，在經濟工作中，邊際分析尤為重要，對邊際問題的正確分析，對于企業的決策者作出正確的決策起著十分重要的作用。

二、導數在彈性分析中的應用

邊際分析所研究的是經濟函數的絕對改變量與絕對變化率。在經濟活動中，我們還需要研究經濟函數的相對改變量與相對變化率——彈性分析。

在經濟工作中，彈性分析所研究的是經濟函數的相對改變量與相對變化率，它所分析的是一個經濟變量變動百分之一會使另一個經濟變量變動百分之幾。它所反映的是一個經濟變量對另一個相關經濟變量變化的敏感程度。在經濟分析中，彈性分析的應用也非常廣泛，許多現實生活中的經濟現象都要用彈性來解釋和分析。通常有“弧彈性”和“點彈性”——彈性系數。

設函數y=f(x)可導，則稱ΔyyΔxx，即因變量變動的百分比與自變量變動的百分比之比為“弧彈性”。而稱EyEx=limΔx→0ΔyyΔxx=y′y?x為“點彈性”，即“點x處的彈性”?！包cx處的彈性”的經濟意義：在點x處，當自變量改變1%時，函數f(x)近似地改變EyEx%。它反映的是：自變量變化時函數變化的靈敏度。

在經濟分析中通常有：需求價格彈性、供給彈性、收益彈性，等等。需求價格彈性，簡稱需求彈性，把握好需求價格彈性，對市場分析預測和定價策略具有重要的參考價值。

若需求函數：Q=Q(p)，則需求彈性：EQEp=Q′Q?p。

①若EQEp＞1，則該商品的需求為高彈性或富有彈性。此時，商品需求量的變化幅度大于價格的變化幅度。此時，適當降價，商品的需求量將有較大幅度的增加，從而總收入就會增加。

②若EQEp=1，則該商品的需求為單位彈性。此時，商品需求量的變化幅度等于價格的變化幅度。此時，無論降價還是漲價，對總收入基本沒有影響。

③若EQEp＜1，則該商品的需求為低彈性或缺乏彈性。此時，商品需求量的變化幅度小于價格的變化幅度。此時，降價將使總收入減少。反之，適當漲價，需求量雖然減少，但減少的幅度小于漲價的幅度，總收入將會增加。

根據需求彈性的經濟意義，當商品需求有較高彈性時，商品的需求量對價格變動的反應較為敏感，經營者如采用適當降價銷售，能促進消費者消費，較大地增加銷售量，薄利多銷，可明顯增加經濟收益，當商品需求低彈性時，商品的需求量對價格變動的反應遲鈍，經營者若適當提高商品的價格，銷售量減少不大，經營者不會因銷售量減少而影響總的經濟收益。

隨著信息化的到來，許多領域越來越多地應用高等數學知識，因此，高等數學課程也應與時俱進，也要信息化、應用化，增加應用案例的篇幅，這樣，高等數學課程改革與建設的道路才會越走越寬。