探討函數(shù)解題中易忽略的幾個問題探討函數(shù)解題中易忽略的幾個問題

趙軍

【摘要】函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的概念，在歷年高考中題型多樣，常考常新。本文結(jié)合課本內(nèi)容及近年來的高考試題，探討函數(shù)解題中易忽略的幾個問題。

【關(guān)鍵詞】求解；錯解；錯因分析；正解；反思

函數(shù)是描述客觀世界中量與量之間對應(yīng)關(guān)系的一種重要的數(shù)學(xué)模型，因而是中學(xué)數(shù)學(xué)主干知識之一。高中新生初學(xué)函數(shù)時，由于對函數(shù)的概念、性質(zhì)理解不透，應(yīng)用不熟，造成錯解。本文就結(jié)合自己的教學(xué)實踐，參考歷年高考題型,談?wù)労瘮?shù)解題中易忽略的幾個問題，引起教師重視，供大家參考。

一、忽略定義域的存在與作用

例1 求函數(shù)f(x)=log0。5(x2-2x-3)的單調(diào)區(qū)間。

錯解 u(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4在(-∞,1］上是減函數(shù)，在［1，∞)上是增函數(shù)。結(jié)合復(fù)合函數(shù)性質(zhì)知：函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-∞,1］，遞減區(qū)間是［1，∞)。

錯因分析 上述解法忽略了函數(shù)f(x)的定義域(-∞,-1)∪（3，+∞），將(-∞,+∞)錯誤地應(yīng)用為函數(shù)f(x)的定義域，得出錯誤結(jié)論。

正解 函數(shù)f(x)=log0。5(x2-2x-3)的定義域是(-∞,-1)∪（3，+∞），u(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4在(-∞,-1)上是減函數(shù)，在（3，+∞）上是增函數(shù)，所以據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-∞,-1)，遞減區(qū)間是（3，+∞）。

反思 定義域是建立函數(shù)關(guān)系、研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，解題中若忽略函數(shù)定義域的存在去研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，往往會出現(xiàn)錯解。

二、忽略對應(yīng)法則的意義與作用

例2 將函數(shù)y=log3(2x+1)的圖像如何變換，可得到函數(shù)y=log3(2x)的圖像？

錯解 把函數(shù)y=log3(2x+1)的圖像上所有點向左平移1個單位長度，就可以得到函數(shù)y=log3(2x)的圖像。

錯因分析 函數(shù)圖像左右平移變換有一定的規(guī)律。把函數(shù)y=f(x)的圖像上所有點向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|個單位長度，就得到函數(shù)y=f(x+h)的圖像，y=f(x)中的f是對應(yīng)法則，是由x得到y(tǒng)的方法途徑，作用對象是x。y=f(x+h)中的f與y=f(x)中的f意義一樣，只是作用對象是x+h而不是x。上述錯解把y=log3(2x+1)看成y=f(x)，y的意義是“乘2，加1，取對數(shù)”，而y=log3(2x)并不是y=f(x+h)，需要進行等價變換。

正解 因y=log3(2x+1)=log32x+12，故把函數(shù)y=log3(2x)的圖像上的所有點向左平移12個單位長度，就可以得到函數(shù)y=log32x+12的圖像，即y=log3(2x+1)的圖像。因此把函數(shù)y=log3(2x+1)的圖像上所有的點向右平移12個單位長度，就可以得到函數(shù)y=log3(2x)的圖像。

反思 在研究函數(shù)圖像變換時，必須弄清楚具體函數(shù)中的對應(yīng)法則的意義及作用對象，才能得到正解。

三、忽略判別式的適用范圍

例3 求函數(shù)y=x2-x-1x2-x+2的值域。

錯解 由y=x2-x-1x2-x+2得

(y-1)x2-(y-1)x+2y+1=0。

①

∵x∈R,∴Δ=［-(y-1)］2-4(y-1)(2y+1)≥0,即(y-1)(7y+5)≤0,解得-57≤y≤1。

故函數(shù)值域為-57,1。

錯因分析 判別式的適用范圍是針對一元二次方程的。當(dāng)y-1=0時，①式不是一元二次方程，則上述求解過程錯誤。

正解 由y=x2-x-1x2-x+2

得(y-1)x2-(y-1)x+2y+1=0。

②

當(dāng)y-1≠0，即y≠1時，∵x∈R，

∴Δ=［-(y-1)2］-4(y-1)(2y+1)≥0，即(y-1)(7y+5)≤0，

解得-57≤y≤1。當(dāng)y-1=0即y=1時，②式為3=0，顯然不成立，此時無實根，因此y=1不是此函數(shù)值。

綜上所述，函數(shù)的值域為-57,1。

反思 判別式的適用范圍是針對一元二次方程的，離開一元二次方程就沒有判別式。

四、求反函數(shù)時，忽略原函數(shù)的值域

例4 求函數(shù)y=1-x+1的反函數(shù)。

錯解 由y=1-x+1，得1-x=y-1，即1-x=(y-1)2，則x=-y2+2y。

故函數(shù)y=1-x+1的反函數(shù)是y=-x2+2x(x∈R)。

錯因分析 如果一個函數(shù)存在反函數(shù)，則原函數(shù)的定義域、值域與反函數(shù)的值域、定義域是互換的，因此反函數(shù)的定義域取決于原函數(shù)的值域而不是反函數(shù)本身。上述錯解的原因是在求反函數(shù)之前沒有事先確定原函數(shù)的值域。