構(gòu)造法在不等式中的應(yīng)用構(gòu)造法在不等式中的應(yīng)用

孫其天

【摘要】關(guān)于不等式的證明方法有很多種，而運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法證明不等式使得問(wèn)題簡(jiǎn)單化，本文闡述了數(shù)學(xué)中構(gòu)造法的含義及其應(yīng)用所產(chǎn)生的影響，用實(shí)例介紹了函數(shù)構(gòu)造方法的幾種應(yīng)用情形。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法；不等式；證明

一、構(gòu)造函數(shù)

理解和掌握函數(shù)的思想方法有助于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)從常量到變量的這個(gè)認(rèn)識(shí)上的飛躍。很多數(shù)學(xué)命題繁冗復(fù)雜，難尋入口，若巧妙運(yùn)用函數(shù)思想，能使解答別具一格，耐人尋味。

例1 證明：如果（x+x2+1）(y+y2+1)=1，那么x+y=0。

證明 構(gòu)造函數(shù)f(x)=lg(x+x2+1)(x∈R)，

易證f(x)在R上是奇函數(shù)且單調(diào)遞增。

因?yàn)?x+x2+1)(y+y2+1）=1，

∴f(x)+f(y)=lg(x+x2+1)+lg(y+y2+1)=lg［(x+x2+1)+(y+y2+1)］=lg1=0。∴f(x)=-f(y)。即f(x)=f（-y）。

又因?yàn)閒(x)是增函數(shù),∴x=-y,即x+y=0。

二、構(gòu)造方程法

根據(jù)所給不等式的特征，由根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造出一元二次方程，再由判別式或根的特點(diǎn)證明不等式。

例2 已知：a,b,c∈R且a+b+c=2,a2+b2+c2=2，求證：a,b,c∈0,43。

解析 a+b+c=2,

a2+b2+c2=2，消去c，得

a2+(b-2)a+b2-2b+1=0，此方程恒成立，

∴Δ＝(b-2)2-4(b2-2b+1)=-3b2+4b≥0，即0≤b≤43。同理可求得a,c∈0,43。

三、構(gòu)造數(shù)列證明不等式

在處理與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題目所提供的特征，通過(guò)替換、設(shè)想等構(gòu)造出一個(gè)與欲解（證）問(wèn)題有關(guān)的數(shù)列（數(shù)組），并對(duì)該數(shù)列（數(shù)組）的特征進(jìn)行分析，常可獲得解題的途徑。如果從分析問(wèn)題所提出的信息知道其本質(zhì)與數(shù)列有關(guān)，那么該問(wèn)題就可以考慮運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列的方法來(lái)解。

例3 已知數(shù)列{an},an=2an-1+n+1,a1=1,求an。

分析 我們希望an=2an-1+n+1,a1=1化為an+An+b=2［an-1+A(n-1)+B］。

即an+An+B=2an-1+2An-2A+2B。

∴an=2an-1+An-2A+B。

∴A=1,-2A+B=1軧=3。

解 由已知an+n+3=2［an-1+(n-1)+3］。設(shè)bn=an+n+3，則bn=2bn-1。即{bn}是公比為2的等比數(shù)列且b1=a1+1+3=1+1+3=5。

∴bn=5×2n-1，則an=5×2n-1-n-3(n∈N*）。

對(duì)于某些關(guān)于自然數(shù)的不等式問(wèn)題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時(shí)也可構(gòu)造有關(guān)的數(shù)列模型，利用其單調(diào)性解決。

四、構(gòu)造復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的延伸，一些難以解決的實(shí)數(shù)問(wèn)題通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問(wèn)題，雖然數(shù)的結(jié)構(gòu)會(huì)變復(fù)雜，但常使問(wèn)題簡(jiǎn)明化，正所謂“退一步海闊天空”。

例4 若a,b,x,y∈{正實(shí)數(shù)},且x2+y2=1,求證：a2x2+b2y2+a2y2+b2x2≥a+b。

證明 設(shè)z1=ax+byi，z2=bx+ayi，則a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=∣z1∣+∣z2∣≥∣z1+z2∣=∣(a+b)x+(a+b)yi∣=(a+b)x2+y2=a+b。

不等式得證。

五、構(gòu)造幾何圖形（體）

如果問(wèn)題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯(lián)系，則可考慮通過(guò)構(gòu)造幾何圖形將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以實(shí)現(xiàn)，然后，借助于圖形的性質(zhì)在所構(gòu)造的圖形中尋求問(wèn)題的結(jié)論。構(gòu)造的圖形，最好是簡(jiǎn)單而又熟悉其性質(zhì)的圖形。這些幾何圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過(guò)建立坐標(biāo)系得到的解析幾何圖形。

例5 求函數(shù)f(x)=x2-4x+13+x2-10x+26的值域。

解析 f(x)=(x-2)2+(0-3)2+

(x-5)2+［0-(-1)］2。

其幾何意義是平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到兩定點(diǎn)M（2，3）和N（5，-1）的距離之和（如圖），為求其值域只要求其最值即可。

易知當(dāng)M，N，P三點(diǎn)共線（即P在線段MN上）時(shí)，f(x)取得最小值，f(x)min=|MN|=(2-5)2+(3+1)2=5，無(wú)最大值，故得函數(shù)的值域?yàn)椋?,+∞）。

從以上各例不難看出，構(gòu)造法是一種極富技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類(lèi)比、化歸的思想，也滲透著猜想、探索、特殊化等重要的數(shù)學(xué)方法。運(yùn)用構(gòu)造法解數(shù)學(xué)題可從中欣賞數(shù)學(xué)之美，感受解題樂(lè)趣，更重要的是可開(kāi)拓思維空間，啟迪智慧，并對(duì)培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)新精神大有裨益。

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