一道解析幾何題的多種解法一道解析幾何題的多種解法

崔洪濤

【摘要】新課程理念倡導學生自主探究,下面的題目是我的一次作業(yè)練習,在批閱之后,出現(xiàn)了意想不到的結果,現(xiàn)整理成文以饗讀者。

【關鍵詞】幾何題；解法

題目 已知圓C:（x-1)2+(y+2)2=9,是否存在斜率為1的直線l，使以l被曲線C截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

一、設而不求

解 設直線l的方程為y=x+b,直線l與曲線C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2)。

由題意知OA⊥OB，則x1x2+y1y2=0。（*）

即x1x2+(x1+b)(x2+b)=0，2x1x2+b(x1+x2)+b2=0。

由y=x+b,

(x-1)2+(y+2)2=9，消去y，得

2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0。

Δ=（2b+2)2-8(b2+4b-4)>0，

即b2+6b-9<0，-3-32

由韋達定理得x1+x2=-b-1，x1x2=b2+4b-42。

代入（*），2×b2+4b-42+b×(-b-1)+b2=0，

即b2+3b-4=0，

解得b=1或b=-4，滿足Δ>0。

所以存在斜率為1的直線l，使以l被曲線C截得的弦AB為直徑的圓過原點，它們的方程為y=x+1或y=x-4．

二、抓關鍵點——弦AB的中點

直接法:設直線l的方程為y=x+b,AB的中點為D,

則CD⊥AB,得kCD=-1,直線CD方程為x+y+1=0,

由x+y+1=0,

y=x+b，得D-b+12,b-12。

在Rt△ACD中,AC=3,CD=|3+b|2,AD=DO=

b+122+b-122。

由勾股定理,AC2=CD2+AD2。

即9=b+322+b+122+b-122,解得b=1或-4。

所以存在斜率為1的直線l，直線l的方程為y=x+1或y=x-4．

間接法: 設直線l的方程為y=x+b, AB的中點D(a,b)。

由CD⊥AB,得b+2a-1=-1。

(1)

在Rt△ACD中,AC=3,CD=(b+2)2+(a-1)2,AD=DO=a2+b2。

由勾股定理,AC2=CD2+AD2,

即9=(b+2)2+(a-1)2+a2+b2。

(2)

聯(lián)立(1)(2)解得a=-1

b=0或a=32,

b=-52。

當a=-1,

b=0時,直線l的方程為y=x+1;

當a=32,

b=-52時,直線l的方程為y=x-4．

三、借助曲線系

解 設直線l的方程為y=x+b。

以AB為直徑的圓可設為(x-1)2+(y+2)2-9+λ(x-y+b)=0,

即x2+y2+(λ-2)x+(4-λ)y-4+λb=0,圓心為2-λ2,λ-42。

由圓心在直線l上得2-λ2-λ-42+b=0。

(1)

由以AB為直徑的圓過原點得-4+λb=0。

(2)

聯(lián)立(1)(2)解得λ=4,

b=1或λ=-1,

b=-4。

所以存在斜率為1的直線l，直線l的方程為y=x+1或y=x-4．

四、線段AB可看作兩圓的公共弦

解 設以AB為直徑的圓為x2+y2+Dx+Ey+F=0。

由以AB為直徑的圓過原點得F=0。

兩圓方程相減可得公共弦AB所在直線方程為

(D+2)x+(E-4)y+4=0。

由圓心-D2,-E2在直線AB上得(D+2)×-D2+(E-4)×-E2+4=0。

(1)

又由于直線AB的斜率為1，可得-D+2E-4=1。

(2)

聯(lián)立(1)(2)解得D=2，

E=0或D=-3，

E=5。

當D=2，

E=0時,直線l的方程為y=x+1；

當D=-3,

E=5時,直線l的方程為y=x-4．

事實上,在現(xiàn)行教學理念下,多給學生一些自主學習的時間,學生會給我們很多驚喜。