例談數列通項公式的求法例談數列通項公式的求法

唐洪偉

【摘要】新教材改革之后，數列作為高考的必考內容，在高考中以中低檔難度為主。而求數列的通項公式研究項與項數之間的關系是進一步考查數列其他問題的基礎。本文作者就幾種常見數列通項公式求法略作論述。

【關鍵詞】數列；通項公式；求法

新教材改革之后，數列作為高考的必考內容，在高考中以中低檔難度為主。而求數列的通項公式研究項與項數之間的關系是進一步考察數列其他問題的基礎。下面是幾種常見數列通項公式的求法。

一、公式法

已知數列是等差或者等比數列用公式法。

例1 已知數列{an}是等差數列，且a2=7，a5=16,數列{bn}是各項為正數的數列，點(log2bn,log2bn+1)在直線y=x+1上，求數列{an}{bn}的通項公式。

解 由已知得，公差d=a5-a23=3，

∴an=a2+(n-2)d=3n+1。

∵(log2bn,log2bn+1)在直線y=x+1上，

∴log2bn+1=log2bn+1,∴bn+1bn=2。

∴{bn}是等比數列，bn=2n。

二、已知sn,求an

例2 已知數列{an}的前n項和Sn=3+2n,求數列{an}的通項公式。

解 當n=1時，a1=S1=5。

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-1。

當n=1時不符合,∴an=5,n=1,

2n-1,n≥2。（此時，必須注意對n=1檢驗）

三、疊加法

已知an+1-an=f(n)，用疊加法。

例3 （2010年全國新課標）數列{an}滿足a1=2,an+1-an=3?22n-1,求{an}的通項公式。

解 由an+1-an=3?22n-1得

a2-a1=3?2,a3-a2=3?23,a4-a3=3?25,…，an-an-1=3?22n-3。

將n-1個式子相加，得

an-a1=3?（2+23+25+…+22n-3)=3?2（1-4n-1)1-4。

∴an=22n-1。

四、疊乘法

已知an+1an=f(n)，用疊乘。

例4 已知數列{an},a1=12,an=n-1n+1an-1,(n≥2),求{an}的通項公式。

解 由已知得anan-1=n-1n+1,(n≥2)。

∴a2a1=13,a3a2=24,a4a3=35，…，an-1an-2=n-2n,anan-1=n-1n+1。

將以上n-1個式子相乘，得

ana1=13?24?35?…?n-2n?n-1n+1。

∵a1=12,∴an=1n(n+1),n=1時也符合。

∴an=1n(n+1)。

五、構造法

當{an}不是等差或者等比數列時，可以構造出等差或者等比數列。

例5 數列{an}滿足a1=4,an=3an-1-2，(n≥2)，求an。

解 由an=3an-1-2,得(an-1)=3(an-1-1)。

∴{an-1}為首項是3，公比為3的等比數列。

∴an-1=3n。

∴an=3n+1。

說明 如pan+1=qan+c,構造{an+b}為等比數列。

六、猜想數學歸納法證明

{an}不能用上述方法時，我們可以根據遞推公式求出前幾項，猜想{an}，然后用數學歸納法證明。

例6 已知數列{an},a2=6，且an+1+an-1an+1-an+1=n,求a1,a3,a4,并求數列{an}的通項式公式。

解 由已知得a1=1,a3=15,a4=28,

猜想an=n(2n-1)。

（1）當n=1，a1=1成立。

(2）假設當n=k時，ak=k(2k-1)成立。

則當n=k+1時，ak+1+k(2k+1)-1ak+1-k(2k-1)+1=k，整理,得

ak+1=(k+1)［2(k+1)-1］?！喈攏=k+1時成立。

由（1）（2）可知對衝∈N+命題成立，∴an=n(n+1)。以上是數列通項公式的常見幾種求法，在遇到具體問題時應恰當選擇方法，轉化成我們熟悉的形式。