利用余弦定理解決三角形解的個數(shù)問題利用余弦定理解決三角形解的個數(shù)問題

汪帆

【摘要】余弦定理和正弦定理一樣，都是揭示了三角形邊角之間的數(shù)量關(guān)系的重要定理。文獻(xiàn)利用正弦定理討論了三角形解的個數(shù)問題。本文證明了利用余弦定理與利用正弦定理討論該問題的等價性，并舉幾道例題，最后談?wù)勛约旱男牡皿w會。

【關(guān)鍵詞】正弦定理；余弦定理

在已知三角形的兩邊及其一邊對角時(在△ABC中，已知邊a,b和角A，解三角形)，文獻(xiàn)中利用正弦定理解決了三角形解的個數(shù)問題，得到了以下的結(jié)論：

1蔽藿獾那榭觶孩貯為銳角且a

2幣喚獾那榭觶孩貯為鈍角或直角且a>b；②A為銳角且a≥b；③A為銳角且a=bsinA;

3繃澆獾那榭觶篈為銳角且AsinA

下面我們介紹利用余弦定理與利用正弦定理解決該問題的等價性。將已知條件代入a2=b2+c2-2bccosA可得一元二次方程c2-(2bcosA)c+(b2-a2)=0，由于三角形的邊始終是正值，所以我們只需討論方程的正根的情況。

1蔽拚根的情況：ⅰ。Δ<0；ⅱ。Δ≥0,

bcosA≤0,

b2-a2≤0。

（1）由ⅰ。可得a

（2）由ⅱ得A為鈍角或直角且bsinA≤a≤b，再加上情況①的A為鈍角的情況則與文獻(xiàn)中無解的情況②對應(yīng)。

2敝揮幸桓穌根的情況：ⅰ。Δ=0，

bcosA>0；

ⅱ。Δ>0

bcosA≤0,

b2-a2<0；ⅲ。Δ>0,

bcosA>0,

b2-a2≤0。

（1）由ⅰ可得A為銳角且a=bsinA，則與文獻(xiàn)中一解的情況③對應(yīng)。

（2）由ⅱ得A為鈍角或直角且a>b，則與文獻(xiàn)中一解的情況①對應(yīng)。

（3）由ⅲ得A為銳角且a≥b，則與文獻(xiàn)中一解的情況②對應(yīng)。

3庇辛礁穌根的情況：Δ>0，

bcosA>0,

b2-a2>0。

由此可得，A為銳角且bsinA

下面舉兩個例子。

例1 在△ABC中，已知a=1,b=3,A=30°,解此三角形。

解 由余弦定理得c2-3c+2=0，解得c=1或c=2。

當(dāng)c=1時，cosB=a2+c2-b22ac=-12，所以B=120°,則C=30°。

當(dāng)c=2時，cosB=a2+c2-b22ac=12，所以B=60°,則C=90°。

例2 在△ABC中，已知a=2,A=60°,當(dāng)b取何值時，△ABC無解？有一解？有兩解？

解 由余弦定理可得c2-bc+b2-4=0。

（1）若△ABC無解，則方程c2-bc+b2-4=0無正根。因?yàn)槎魏瘮?shù)f(c)=c2-bc+b2-4的對稱軸為c=b2>0，則Δ=-3b2+16<0，解得b>433，所以當(dāng)b>433時，△ABC無解。

（2）若△ABC有一解，則方程c2-bc+b2-4=0只有一個正根。則Δ=0或Δ>0，

b2-4≤0，

解得b=433或0

（3）若△ABC有兩解，則方程c2-bc+b2-4=0有兩個正根。則Δ>0,

b2-4>0,解得b>2，所以當(dāng)b>2時，△ABC有兩解。

根據(jù)上面的兩個例子和之前的討論可以看出，如果在解三角形時已知兩邊及其一邊對角的情況下選擇余弦定理解決問題，就將三角形解的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程正根的問題，從而使問題的解決顯得更加簡潔。

【參考文獻(xiàn)】

劉紹學(xué)。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》必修5［M］。北京：人民教育出版社，2007：8-9。