直擊概率計算題常見錯誤直擊概率計算題常見錯誤

晁豐成

【摘要】從2005年開始實(shí)施的蘇教版新教材必修3中有關(guān)概率計算問題主要包括兩種概率模型：古典概型和幾何概型，掌握古典概型和幾何概型的概率計算是基本要求，在平時模擬考試及高考中均以中低檔題出現(xiàn)，但學(xué)生在平時解題或考試中仍然會出現(xiàn)各種各樣的問題，筆者認(rèn)為有必要對學(xué)生存在的主要障礙作一些探討，以便指導(dǎo)平時教學(xué)并適應(yīng)新課改的需要。

【關(guān)鍵詞】概率；計算

結(jié)合平時教學(xué)，我認(rèn)為在平時的概率計算題中的常見錯誤主要如下：

一、有序與無序不統(tǒng)一

例1 在一個盒中裝有15支圓珠筆，其中7支一等品、5支二等品和3支三等品，從中任取2支，問：下列事件的概率有多大？

（1）恰有一支一等品；（2）恰有兩支一等品；（3）沒有三等品。

僅以第（1）問為例，簡單介紹主要錯誤情況。

錯解 記恰有一支一等品為事件A，則從15支圓珠筆中抽取兩支共包含15×14(個)基本事件，事件A中共有7×8（個）基本事件，∴P(A)＝56210＝415。

我們現(xiàn)在重新審視這道題，從15支圓珠筆中抽取兩支可以理解為有序抽取，即逐一抽取，此時共有基本事件的總數(shù)可用分步原理解決：

第一次抽取共有15種結(jié)果，第二次抽取共14種結(jié)果。

∴從15支圓珠筆中抽取兩支共有15×14＝210(種)結(jié)果。

事件A為恰有一支一等品，研究它包含基本事件也必須理解為有序抽取，共包含兩種情況：

情況一：第一次取到一等品且第二次取到非一等品，共含有7×8＝56(個)基本事件。

情況二：第一次取到非一等品且第二次取到一等品，共包含8×7＝56(個)基本事件。

∴事件A中共包含基本事件的個數(shù)為56＋56＝112(個)。

到此處，同學(xué)們錯解本題的原因就真相大白了，在求基本事件總數(shù)時所用的抽取方式為有序抽取，而在求事件A基本事件的個數(shù)時又用無序抽取，即在一個問題中有序與無序不統(tǒng)一，此時必然出錯。

正解一 記取到一支一等品為事件A。

從15支圓珠筆中抽取兩支共包含15×14＝210(個)基本事件，事件A中共有7×8＋8×7(個)基本事件。

∴P(A)＝112210＝815。

本題也可將抽取過程理解為無序抽取。

正解二 記取到一支一等品為事件A。

從15支圓珠筆中抽取兩支共有15×142＝105(種)結(jié)果，事件A中共有7×8＝56(種)結(jié)果。

∴P(A)＝56105＝815。

由此可知，無論從有序抽取還是無序抽取的角度處理古典概型的摸球問題都是可以的，關(guān)鍵是有序與無序的統(tǒng)一。

二、實(shí)際背景理解不透

例2 從2008名學(xué)生中選取50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，若采用下面的方法選取：先用簡單隨機(jī)抽樣從2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取50人，則在2008人中，每人入選的概率為