00型未定式解題方法之我見

程衛紅

【摘要】通過對常見類型的00型未定式求解方法的分析比較，提出了運用等價無窮小代換和洛必達法則這兩種方法解題的個人見解，以求解決部分教材中存在的不足及學生運用這兩種方法解題不夠靈活等問題。

【關鍵詞】00型未定式；等價無窮小代換；洛必達法則

極限計算是高等數學中的一個重要部分，未定式計算又是極限運算中的一個重要的內容。在未定式的計算中，00型未定式的計算占有較大的比例，其題型之多、解題方法之活，成為學生學習的一個難點。在我們常用的幾種高等數學的教材里，都分別介紹了兩種求解00型未定式的方法：等價無窮小代換和洛必達法則。由于等價無窮小代換是出現在第一章《函數與極限》，未定式概念和洛必達法則是出現在第三章《中值定理與導數的應用》，加上多數教材和教師在第三章介紹完洛必達法則后，對利用等價無窮小代換方法求00型未定式強調得不多，因而學生對如何利用這兩種方法解題就沒有引起重視，導致學生解題方法死板，遇到未定式計算就只想到洛必達法則，忽視了等價無窮小代換在計算中的作用，結果是一種方法用到底，使簡單的問題復雜化。筆者認為，在講完洛必達法則后再通過一些00型未定式的練習題目，讓學生分析討論這兩種方法何時使用最恰當是很有必要的，利于學生靈活掌握這兩種方法，使解題步驟簡化，減少運算量。

下面根據常見的兩種00型未定式題型，就解題方法談談自己的個人見解。

題型1 形如limf(x)-g(x)h(x)，limf(x)h(x)-k(x)的00型未定式，即極限的分子或分母是由兩項之差的形式（或分子和分母都是兩項之差的形式）。

解題方法 若f(x)-g(x)，h(x)-k(x)（或簡單變形后）符合等價無窮小代換形式，就利用等價無窮小代換求解；若f(x)-g(x)，h(x)-k(x)不能進行等價無窮小代換，且求導后計算不復雜，就用洛必達法則求解；其他情形則需要兩種方法混合使用。

比如，計算limx→01-cos2xxsinx，利用等價無窮小代換一次就可以輕松求出答案，若單獨用洛必達法則計算，就需要用兩次洛必達法則才能求解。計算limx→0cos2x-cos3xx2,limx→asin5x-sin5ax5-a5，若用等價無窮小代換求解，就必須先進行和差化積、因式分解后才能進行代換，若用洛必達法則計算就比較容易了。

題型2 形如limf(x)?g(x)h(x)，limfn(x)h(x)?k(x)的00型未定式，即極限的分子或分母（或分子和分母）是由兩個（或多個）因子相乘的形式。

解題方法 要先將各因子進行等價代換，然后再考慮用洛必達法則，或兩種方法混合使用，這樣就可以減少運算步驟和運算量。因為作為乘積項，求導后項數會增加，通常情況下式子會變得更加復雜，這給后面的計算就帶來了一定的麻煩。

另外還要注意，如果分子或分母中某個因子的極限是一個不為零的常數，在利用洛必達法則解題過程中可以將該因子極限求出，從而使運算更簡捷，部分教師忽略了這一點。

下面我們來看某教材中的一個例題。

例 計算limx→0tan3xx-sinx。

解 limx→0tan3xx-sinx=limx→03tan2xsec2x1-cosx=limx→01sinx［6tanxsec2x?sec2x+6tan2x?tanxsec2x］=……=6。

本題是直接利用洛必達法則進行運算，也是多數教材及習題集所采用的方法。上述解題過程沒有錯誤，但太過繁雜，原因就在多次用洛必達法則后式子變得更加復雜，增加了計算的難度和運算量。若將這兩種方法混合使用，其步驟就簡單明了，如下面的計算：

limx→0tan3xx-sinx=limx→0x3x-sinx=limx→03x21-cosx=limx→03x212x2=6。

形如limx→0sin(x)n(sinx)m（n，m為正整數）、limx→0sinx-tanx(31+x2-1)(1+sinx-1)的題目都是先進行等價無窮小代換，然后就可以輕松地進入下面的計算。考慮到篇幅問題不再舉例說明。

除了上述解題方法外，我們還可以向學生介紹幾種計算00型未定式時常用的方法。

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將形如limα(x)±β(x)γ(x)的式子拆成limα(x)γ(x)±limβ(x)γ(x)進行計算。使用拆項計算的原則是α(x)，β(x)均應是γ(x)的同階無窮小或高階無窮小，這樣極限limα(x)γ(x)和limβ(x)γ(x)存在，其值為常數，否則是不能進行拆項計算的。運用極限的運算法則，不難推出拆項計算的正確性。