三次函數的一個性質

周曉東

對于二次函數的圖像和性質，我們已做了深刻挖掘且對其結論也已銘記于心，而對于三次函數的圖像和性質，我們卻知之甚少。由于三次函數是高中數學中研究導函數的載體，因而是我們高中數學教師必須研究的。

定理：任何一個三次函數的圖像都是中心對稱圖形。

證明：設三次函數為f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，∵f(-+x)+f(--x)=[a(-+x)3+b(-+x)2+c(-+x)+d]+[a(--x)3+b(--x)2+c(--x)=a(-)[(-+x)2-(-+x)(--x)+(--x)2]+b(+2x2)+c(-)+2d=2d-+。

即對任意x都有f(-+x)+f(--x)=2d-+，因而三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)關于點（-，d-+）對稱，因此任何一個三次函數的圖像都是中心對稱圖形。

由上面的證明不難看出：對稱中心的橫坐標為函數f(x)二階導的零點，即：函數f(x)的導數f''''(x)=3ax2+2bc+c的導數6ax+2b的零點，故x=-；對稱中心的縱標為函數值f(-)。如三次函數f(x)=2x3-3x2+2x-1的對稱中心的橫坐標的求法：f''''(x)=6x2-6x+2，f''''(x)=6x2-6x+2的導數為f''''''''(x)=12x-6，由f''''''''(x)=0x=對稱中心的縱坐標為f()=2×-3×+2×-1=-，故對稱中心為（，-）。

實際上，如果一個三次函數在R上不單調，那么它的函數圖像的對稱中心為函數的兩個極值點連接線段的中點。

推論：任何一個三次函數經過平移變換都能變為奇函數。

證明：設三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，由定理知：圖像的對稱中心為（-，d-+)，則把原函數的圖像向左平移-個單位，向下平移(d-+)個單位（不妨設->0,d-+>0），若為負則向相反的方向平移，對應的函數解析式為g(x)=a(x-)3+b(x-)2+c(x-)+d-(d-+)=ax3+(c-)x，顯然，g(x)=ax3+(c-)x(a≠0)是奇函數。

應用1：已知函數f(x)=x3-2x2+2x+1，a∈R，對x∈R都有f(a+x)+(a-x)為常數，則=a=___。

思路分析：由已知條件為常數可知：函數的圖像是一個中心對稱圖形，且對稱中心的橫坐標為a.這就啟發我們三次函數的相關性質：任何一個三次函數的圖像都是中心對稱圖形嗎？顯然是正確的。函數f(x)=x3-2x2+2x+1的導數為f''''(x)=3x2-4x+2，f''''(x)=3x2-4x+2的導數為f''''''''(x)=6x-4，由f''''''''(x)=0得x=，f()=()3-2×()2+2×+1=，所以，f(a+x)+f(a-x)=，a=。

在我們高三的數學復習中用這個性質可以編很多題目，如：已知函數f(x)=2x3-12x2+4x-1，若存在實數a，對任意的實數x1,x2，當x1+x2=2a時，f(x1)+f(x2)為常數，則這個常數為___。

思路點撥：這是一個三次函數的問題，自變量之和一定時函數值之和也一定，就是暗指這個函數的圖像是中心對稱圖形。因為三次數數的圖像為中心對稱圖形，f''''(x)=6x2-24x+4，f''''''''(x)=12x-24，由f''''''''(x)=0得x=2，故a=2，f(a)=2×8-12×4+4×2-1=-25，故這個常數為-25。

其實針對三次函數的這個性質我們還可以編這樣一個題目：直線l過點(a，b)且斜率為k，點(a，b)在曲線C上，直線l與曲線C的另外兩個交點為A(x1，y1)、B(x2，y2)。問是否存在點(a，b)，對于無數個k都有f(x1)+f(x2)為常數，若存在，求出點(a，b)；若不存在，請說明理由。

迷途點擊：若用傳統方法聯立方程組y-b=k(x-a)y=2x-12x+4x-1，顯然計算量太大，也無解題方向，無法求解。若換一種思維：存在無數個k都有f(x1)+f(x2)為常數，其實是說明這個函數的圖像是一個中心對稱圖形。而三次函數正好具有這個性質。由應用二知：對稱中心為（2，-25）。

總之，只要我們理解了這個性質，就能編出大量與此性質有關的問題。

（徐州市九里中學）