動(dòng)態(tài)幾何中的二次函數(shù)

楊永金

近年，中考試題中常有動(dòng)態(tài)幾何問題，它包括點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、圖形動(dòng)三種類型。二次函數(shù)是初中解決極值問題的基本方法。二者結(jié)合，增添了動(dòng)態(tài)幾何的趣味和解決方法，提高了學(xué)生思維深度和廣度。現(xiàn)舉三個(gè)例子進(jìn)行分析。

一、單一動(dòng)點(diǎn)與二次函數(shù)

例lA、B、C三點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，其中A點(diǎn)在X軸負(fù)半軸上，B點(diǎn)在X軸負(fù)半軸上，且AB=10（OA

（1）求線段OA、OB的長(zhǎng)和經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的三點(diǎn)拋物線的解析式。

（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)E（m，n）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（且m>0，n>0，連接DE交BC于點(diǎn)F。

①當(dāng)△BDF為等腰三角形時(shí)，寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)。

②連結(jié)CD、CE，△CDE是否有最大面積？如有，求出△CDE的最大面積和此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；如沒有，說明理由。

分析：（1）根據(jù)直角三角形相似對(duì)應(yīng)線段成比例求出OA、OB的長(zhǎng)，再通過ABC三點(diǎn)確定拋物線的解析式。（2）△BDE為等腰三角形，可分三種情況分析：BD=DE、DE=BE、BD=BE。結(jié)合等腰三角形三線合一來解決。求△BDE的最大面積，與二次函數(shù)的最值聯(lián)系起來。

二、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與二次函數(shù)

例2在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的四個(gè)個(gè)頂點(diǎn)A（8，8）B（8，O）、C16，0）、D（16，16）。拋物線過A、C兩點(diǎn)。

（1）求出過A、C兩點(diǎn)拋物線的解析式。

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過點(diǎn)P作PE垂直于AB交AC于點(diǎn)E。

①過點(diǎn)E作EF垂直于AD于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G。當(dāng)t為何值時(shí)，線段EG最長(zhǎng)？

②連接EQ，在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，判斷當(dāng)T為何值時(shí)使得△CEG是等腰二角形？請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的t值。

分析：隨著點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)，EF與拋物線的交點(diǎn)G始終在點(diǎn)E的上方，故EG的長(zhǎng)等于YE-YE，所以可以建立二次函數(shù)來求最值。對(duì)于△CEG等腰三角形，根據(jù)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分三種情況討論即可。

三、單一動(dòng)點(diǎn)的圖形變化

例3在平行四邊形ABCD中∠B＝60°，M是BC上不與B點(diǎn)重合的點(diǎn)，AB＝8，AD＝6，過M作垂直于AB于點(diǎn)Q，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，設(shè)BM=X，△MDQ的面積為Y，求與之間的函數(shù)關(guān)系式。

分析：要求面積只需取某條線段為底，再找一條高，它們要么是常量要么是關(guān)于自變量的代數(shù)式，因此，以EF為底DG為高，求解。

（1）設(shè)t=x，用含x的代數(shù)式表示BM和MQ。

（2）如Q點(diǎn)在BD上移動(dòng)。

（3）Q運(yùn)動(dòng)時(shí)能否與M、D夠成直角三角形，如能，求出

其值。

分析：（1）中求線段之間的關(guān)系可用比例線段求得。（2）中求三角形的面積只需找底與高即可。底與高可能為常量，也可能為含x的代數(shù)式。DQ為底，PC為高。（3）可假設(shè)能夠成直角三角形，把各線段的長(zhǎng)求出來，再用勾股定理求解。

通過以上例子，我們可以看到動(dòng)態(tài)問題對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，解題方法靈活多變，其中所含的數(shù)學(xué)思想和方法豐富，有數(shù)型結(jié)合思想、方程思想、函數(shù)思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模等思想方法。這樣，既考查了學(xué)生利用動(dòng)靜結(jié)合、圖形變換的規(guī)律分析、解決問題的能力，又考查了學(xué)生觀察、猜想、歸納、驗(yàn)證、推理等思維能力。因此，我們應(yīng)要求學(xué)生要會(huì)將問題各個(gè)時(shí)刻的圖形分類畫圖，由“動(dòng)”變“靜”，還要善于抓住在運(yùn)動(dòng)過程中某一特殊位置的等量關(guān)系和變量關(guān)系。

（安龍縣篤山中學(xué)）