揭示數(shù)學(xué)知識(shí)背后的思想方法

葉玉奎

數(shù)學(xué)教學(xué)有兩方面的任務(wù)，即數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的精髓，兩者都很重要，尤其是后者，對(duì)學(xué)生構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀念、提升創(chuàng)新思維能力至關(guān)重要。而在教學(xué)實(shí)踐中，我們經(jīng)常把數(shù)學(xué)知識(shí)作為教學(xué)的主要任務(wù)，很容易忽視思想方法的教學(xué)，即便重視，也常常把思想方法的教學(xué)定位于“滲透”，而非明確的“揭示”。本文就數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想方法的作用、運(yùn)用，談?wù)勛约旱目捶ê徒ㄗh。

一、數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法源于數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，是對(duì)知識(shí)、方法、規(guī)律的本質(zhì)概括，對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，是解題思想，也是思維方式，同時(shí)也是解題策略和程序。在數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想方法滲透的同時(shí)，給予明確揭示，并引導(dǎo)學(xué)生把握，將會(huì)使學(xué)生突破模仿型解題的水平，形成較強(qiáng)解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，常見到的基本數(shù)學(xué)思想方法有五種，我進(jìn)行了初步歸整，并對(duì)各自的作用、特點(diǎn)和運(yùn)作進(jìn)行了簡(jiǎn)要的總結(jié)。

1. 化歸

化歸思想方法是指研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化。具體地說(shuō)就是把“新知”轉(zhuǎn)化為“舊知”，把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單”，把“抽象”轉(zhuǎn)化為“直觀”，把“含糊”轉(zhuǎn)化為“明朗”。掌握了化歸思想，學(xué)生的認(rèn)識(shí)起點(diǎn)和認(rèn)知水平會(huì)迅速提升，會(huì)在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有意識(shí)地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析、類比、聯(lián)想，把未知的問(wèn)題化歸為已知問(wèn)題 ，從而輕松地解決問(wèn)題。

它的實(shí)施程序是：找準(zhǔn)問(wèn)題的化歸對(duì)象——確定化歸目標(biāo)——探尋化歸手段。例如求四邊形的內(nèi)角和：把四邊形轉(zhuǎn)化（化歸對(duì)象）為三角形（化歸目標(biāo)），需要添加輔助線，連接對(duì)角線（劃歸手段），四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形，通過(guò)三角形的內(nèi)角和來(lái)研究四邊形的內(nèi)角和。

要培養(yǎng)學(xué)生的劃歸思想，教師應(yīng)充分重視在實(shí)踐教學(xué)過(guò)程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行化歸訓(xùn)練，強(qiáng)化學(xué)生看透數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的意識(shí)，從而增強(qiáng)他們隨機(jī)應(yīng)變的能力。

2. 數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合思想方法是指解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)將數(shù)量與圖形進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合可以使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得直觀可見，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，簡(jiǎn)化解決方法和解決程序。

在初中數(shù)學(xué)中，以下內(nèi)容慣用數(shù)形結(jié)合思想方法解決：實(shí)數(shù)與點(diǎn)、函數(shù)與圖像、曲線與方程。教師在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法時(shí)，要充分利用這幾部分內(nèi)容進(jìn)行訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合的對(duì)應(yīng)性，揭示坐標(biāo)系是數(shù)形結(jié)合基礎(chǔ)這一特性。

3. 分合

分合思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)將研究對(duì)象分解組合。具體地說(shuō)就是把原問(wèn)題根據(jù)涉及的范圍分解為若干個(gè)新問(wèn)題，分別求其解；然后通過(guò)組合其解而得到原問(wèn)題的解。這種思想中具體使用的方法就是數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常說(shuō)的分類討論法。

在初中數(shù)學(xué)中，以下內(nèi)容慣用分合思想方法解決：含字母的絕對(duì)值、一元二次方程根的討論、解不等式組、函數(shù)增減性、弦切角定理。教師在教學(xué)中對(duì)學(xué)生揭示這種思想方法時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)雜度高、綜合性強(qiáng)的問(wèn)題中運(yùn)用，使學(xué)生在領(lǐng)悟分合思想方法的同時(shí)，培養(yǎng)他們思考和分析能力，提高他們解題時(shí)的全面性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

4. 不變量

不變量思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，抓住問(wèn)題中經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)、變換、操作后仍保持不變的量。面對(duì)變化繁雜的問(wèn)題，要想抓住聚合點(diǎn)，找出關(guān)聯(lián)，就必須揪住不變量這條重要線索，并把它作為解題的關(guān)鍵。

5. 整體思想

整體思想方法是從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，把某些部分看成獨(dú)立體，根據(jù)它們與整體的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行針對(duì)性的處理。具體使用方式包括整體代入、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、疊加疊乘處理等。例如用整體思想方法解方程，就是用方程中的某一個(gè)代數(shù)式整體去代入，解出代數(shù)式的值，再根據(jù)代數(shù)式的值解出未知數(shù)的值。

初中數(shù)學(xué)中，整體思想方法慣用于以下內(nèi)容：代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值、解方程（組）、幾何補(bǔ)形。在對(duì)學(xué)生揭示時(shí)，教師要在培養(yǎng)學(xué)生觀察辨析能力的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生構(gòu)建從宏觀和整體角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題的思維模式。

二、數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的應(yīng)用案例

1. 幾何案例：多邊形教學(xué)

題目：求四邊形的內(nèi)角和。

學(xué)生自主探究后，找出的解題途徑有6種（如圖所示）：

講評(píng)后，組織學(xué)生討論在這“一題多解”的背后，有什么共同的地方？（化歸為三角形的內(nèi)角和）

緊接著開始拓展 ：求這個(gè)圖形的內(nèi)角和 。

得出結(jié)論：多邊形都可以化歸為三角形（如圖所示）。

本案例中用到的數(shù)學(xué)思想有：

化歸——通過(guò)輔助線將“四邊形的內(nèi)角和”化歸為“三角形的內(nèi)角和”。

數(shù)形結(jié)合——幾何性質(zhì)的四個(gè)角之和，通過(guò)角的分割、轉(zhuǎn)移與合并，轉(zhuǎn)化為代數(shù)意義的求和式的拆項(xiàng)、交換與結(jié)合。

分合——圖形的分割、轉(zhuǎn)移與合并，代數(shù)和的拆項(xiàng)、交換與結(jié)合，都體現(xiàn)了分解與組合。

不變量——角A、角B、角C、角D進(jìn)行轉(zhuǎn)移、分合等變化，但和不變，體現(xiàn)了變動(dòng)中的不變量。

2. 代數(shù)案例：方程的教學(xué)

題目：一元二次方程的基本解法。

學(xué)生總結(jié)出四種基本解法：開平方法、配方法、因式分解法、公式法。

組織學(xué)生討論，四種解法有什么共同處？（降次）

得出結(jié)論：“降次轉(zhuǎn)化”，是解一元二次方程各方法之“宗”。

本案例中用到的數(shù)學(xué)思想有：

化歸——把一元二次方程通過(guò)分解化歸為兩個(gè)一次方程。

分合——把方程分解成兩個(gè)因式，分別求值，再進(jìn)行組合。

整體——在使用配方法和公式法中，將配方項(xiàng)作為一個(gè)獨(dú)立的整體代入。

數(shù)學(xué)思想方法以內(nèi)隱的形式貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)教材的知識(shí)點(diǎn)中，要使學(xué)生把這種思想內(nèi)化為自己的思維方式，就需要教師給予揭示，使這些思想方法從習(xí)題背后浮現(xiàn)出來(lái)。

（拉薩市第七中學(xué)）