求解非線性方程的有效數(shù)值方法及其比較求解非線性方程的有效數(shù)值方法及其比較

江山

【摘要】本文介紹求解非線性方程的數(shù)值解法，即研究對分法、弦截法和牛頓法的迭代公式，通過相同誤差限精度要求下求解同一個超越方程，比較三種數(shù)值方法的有效性和優(yōu)劣性，進而給出各方法的優(yōu)缺點和迭代收斂階，最后介紹Matlab實現(xiàn)和求根函數(shù)，結(jié)合研究型教學(xué)實例展示達到更好的教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】非線性方程；對分法；弦截法；牛頓法；收斂階

【中圖分類號】O241。7【文獻標(biāo)識碼】A

【基金項目】國家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金資助項目(11026113)，揚州大學(xué)科技創(chuàng)新培育基金(2011CXJ005)

非線性方程的數(shù)值解法是數(shù)值分析［1-6］中的一個重要內(nèi)容，設(shè)f(x)是實系數(shù)多項式，經(jīng)常需要解出超越方程f(x)=0的根。一般來說，方程的根即使存在往往也無法用公式表示，或者求出的根表達式十分復(fù)雜，在工程和科學(xué)計算中如非線性力學(xué)、非線性微積分方程、電路電力系統(tǒng)計算等眾多領(lǐng)域，都要用到非線性方程求解。于是，研究非線性方程根的數(shù)值方法很有必要，直接從方程出發(fā)，逐步判斷并縮小根的存在區(qū)間，或者把根的近似值精確化滿足實際問題的需要，這些數(shù)值方法的有效性和優(yōu)劣性值得研究和比較。

構(gòu)造合理的迭代格式須滿足壓縮映像原理，保證封閉性和壓縮性，李普希斯常數(shù)越小，迭代格式的收斂速度越快，收斂階數(shù)越高［2,5］。下面通過研究對分法、弦截法和牛頓法的迭代格式，比較三種數(shù)值格式的有效性和優(yōu)劣性，并給出各方法的總結(jié)。

例題 求解非線性方程x4+2x3-4x2+10x-20=0在區(qū)間［1,2］上的根，絕對誤差限的精度要求為ε=10-5。

解法一 對分法：判定二分次數(shù)，mk=12(ak+bk)，

∵|mk-α|≤12k+1(b0-a0)≤10-5，

∴k≥log2b0-a0ε=16。列表計算得：