一類條件極值的解法研究一類條件極值的解法研究

胥紅星

【摘要】研究多元函數的極值問題，針對一類具體類型的問題，結合實例，給出了具體的簡化計算方法。

【關鍵詞】條件極值；拉格朗日乘數；高等數學

對于多元函數的極值問題，在高等數學中利用函數以及導數的性質得到更為充分的研究。極值求解一般分為兩類，在求解多元函數無條件極值時，我們只需根據函數的駐點來判斷極值的存在性，在條件極值的求解時，我們可以利用拉格朗日乘數法獲得極值的存在性，無論哪種方法，在實際的應用中，我們都要根據數學的靈活性，盡可能使問題簡化，以提高解題的準確性，避免方法的生搬硬套。

一、問題的提出

人大版《微積分》練習中存在這樣一個問題：

例1 求拋物線y2=4x上的點，使它與直線x-y+4=0的距離最小。

在參考書中給出如下解法:

設拋物線任意一點為(x,y)，利用點到直線的距離公式r=|x-y+4|2，由于絕對值不能求導，提出r和r2具有相同的極值點，考察了r2在條件y2=4x下的極值問題。利用拉格朗日乘數法。

令F=(x-y+4)22+λ(y2-4x)。

由F′ x=x-y+4-4λ=0,

F′ y=y-x-4+2λy=0,

F′ λ=y2-4x=0，

得x=1,

y=2。

即拋物線y2=4x上的點(1,2)距直線x-y+4=0最近。

在劉玉璉版的數學分析中也出現類似問題，參考書均是上述方法利用r2研究了r的極值的存在性，顯然這種方法的實際計算過程是較為復雜的。下面我們給出該問題的簡單方法。

二、問題的簡化

數學知識點是相互聯系的，題目的解法具有很強的靈活性，由線性規劃可知在直線x-y+4=0上方的點有x-y+4>0，直線下方的點有x-y+4<0，而直線上本身的點滿足x-y+4=0。通過分析不難發現，拋物線y2=4x位于直線的下方，故r=y-x-42。

令F=y-x-42+λ(y2-4x)。

由F′ x=-12-4λ=0,

F′ y=12+2λy=0,

F′ λ=y2-4x=0，得x=1,

y=2。

即拋物線上點(1,2)到直線距離最近。顯然，該方程組更容易求解，從而使問題得以簡化。

類似橢圓上、雙曲線上的一點到某一直線的距離的最大值或最小值均可歸結為類似問題。利用線性規劃，我們只需判定圖形位于直線的上方或者下方即可根據拉格朗日乘數法設計有效的表達式，從而迅速解決該類問題。

三、實例分析

例2 在橢圓x2+4y2=6上求一點，使到2x+3y-6=0的距離最遠。

解 通過分析可知，橢圓位于直線的下方，根據拉格朗日乘數法可設

F=6-3y-2x13+λ(x2+4y2-4)。

令F′ x=-213+2λx=0,

F′ y=-313+8λy=0,

F′ λ=x2+4y2-4=0。

可得穩定點85,35,-85,-35，可判定點-85,-35到直線距離最遠。

顯然，該方法在實際計算中更易計算。

【參考文獻】

［1］趙樹嫄。微積分。北京：中國人民大學出版社，2007。

［2］王麗燕，梁平，秦禹春。微積分全程學習指導。大連：大連理工大學出版社，2008。

［3］劉玉璉，傅沛仁。數學分析講義：下冊。北京:高等教育出版社,2003。