用遞推法求某些行列式的值的幾點體會用遞推法求某些行列式的值的幾點體會

賀建平

【摘要】用遞推法求行列式的值。首先找到遞推關系Dn=pDn-1+qDn-2，n>2，這里p,q為常數，然后根據具體情況求出行列式的值。

【關鍵詞】行列式的值；遞推法；遞推關系

在線性代數求高階行列式值的教學中，我們經常應用行列式的性質把高階行列式的某行（或某列）變為只有一個非零元素，然后再按該行（或列）展開，多次運用這種方法可以把階數高的行列式降為低階行列式，直至三階、二階行列式，然后將行列式展開求出其值。有時此方法較為麻煩或不易解出，因此自己在教學過程中補充了遞推法，學生得益匪淺。講授了遞推法以后，學生對課本中的一些習題就不會感到困難了。

由于學生在高中求數列的通項時，已經接觸過遞推法，因此，此方法對高職學生來說并不感到陌生，從本人的教學實踐中觀察，學生容易接受，興趣濃厚，效果良好。

下面具體談一下教學過程：

如果行列式以某一行（或列）展開時，它能夠表示成和它同樣形式，但階數較低行列式的代數和，則稱此結果為一個遞推關系。

假設我們有一個遞推關系：

Dn=pDn-1+qDn-2，n>2。……（1） 這里p,q為常數。

（一）若q=0，Dn=pDn-1=p2Dn-2=…=pn-1D1，則這里D1是位于行列式Dn左上角上一個元素。用上述方法通常可以求2n階行列式的值。

例1 計算D2n=a0b0

鳘佴

ab

00

cd

侏鰳

c0d0

0……………0d。

解 按第1行展開，有

D2n=a?a0b0

鳘佴

ab

00

cd

侏鰳

c0d0

0……………0d

2(n-1)+b?（-1)1+2n0a0b

螵鳘

骯b

00

骳d

螵侏

0c0d

c0……………0

2(n-1)

=adD2(n-1)-bc(-1)2n-1+1D2(n-1)

=(ad-bc)D2(n-1)。

以此作遞推公式，即可得

D2n=(ad-bc)D2(n-1)=(ad-bc)2D2(n-2)=…=(ad-bc)n-1D2=(ad-bc)n-1a b

c d=(ad-bc)n。

（二）若a≠0，令α，β是方程x2-px+q=0的兩個根,則p=α+β，q=-αβ。把它們代入（1）可得：

Dn-βDn-1=α(Dn-1-βDn-2)。……（2）

或Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)。……（3）

（ⅰ）若α≠β,反復利用（2）、（3）可推得：

Dn-βDn-1=αn-2(D2-βD1)或Dn-αDn-1=βn-2(D2-αD1)。

由上兩式可得：

Dn=αn-1(D2-βD1)-βn-1(D2-D1)α?β或Dn=C1αn+C2βn。……（4）

其中C1=D2-βD1α(α-β),C2=D2-αD1-β(α-β)。

而（4）容易記憶，其中C1,C2可以由初始條件從（4）可以得到D1=C1α+C2β,D2=C1α2+C2β2。

用上述辦法經常可以求三對角型行列式（即：主對角線及其上方和下方第一條對角線上元素非零而其余元素都為零的行列式稱為三對角型行列式）的值。

分析 如果此三對角型行列式所含元素結構形式相同,就可用遞推法來求值。即先將原行列式表示成兩個低階同型行列式的線性關系式,再用遞推法及某些低階行列式的值求出原行列式的值。

例2 求行列式之值:

Dn=750…0

275…0

027…0

……………

000…7。

解 在原行列式中，以第一行展開，在展開式中，第二個行列式再以第一列展開可得：Dn=7Dn-1-10Dn-1,

方程x2-7x+10=0的兩個根為5，2。

由（4）式可得Dn=C15n+C22n。

在上式中令n=1，2可得D1=7=5C1+2C2,D2=7 5

2 7=39=25C1+4C2。解之得C1=53,C2=-23,Dn=5n+1-2n+13。

（ⅱ）若α=β,（2）、（3）可以變成

Dn-αDn-1=α(Dn-1-αDn-2)。

從而Dn-αDn-1=Aαn-2。……（5）

其中A=D2-αD1。以n-1代替n，可以得到

Dn-1-αDn-2=Aαn-3。

因此Dn-1=αDn-2+Aαn-3。

把上式代入（5），有：Dn=α2Dn-2+2Aαn-2,反復多次可得

Dn=αn-1D1+(n-1)Aαn-1或Dn=αn［(n-1)C1+C2］。……（6）

其中C1=Aα2，C2=D1α。(這里α≠0，因為q≠0）

例3 求行列式之值:

Dn=210…0

121…0

012…0

……………

000…2。

解 在原行列式中，以第一行展開，在展開式中，第二個行列式再以第一列展開可得Dn=2Dn-1-Dn-2，方程x2-2x+1=0的兩個根x1=x2=1。

由（6）式得Dn=(n-1)C1+C2。

在上式中令n=1，2可得：

D1=2=C2，

D2=2 1

1 2=3=C1+C2。

解之得C1=1,C2=2,Dn=(n-1)×1+2=n+1。

綜合以上討論，我們有如下結論：如果已經找到了遞推關系Dn=pDn-1+qDn-2，n>2,這里p,q為常數，那么，只要先解出方程x2-px+q=0的兩個根α,β。

(ⅰ)若α≠β，則Dn=C1αn+C2βn。

(ⅱ)若α=β，則Dn=αn［(n-1)C1+C2］。

其中C1,C2由初始條件可以得到。

總之，通過以上的討論，對于行列式中能夠找到遞推關系的Dn=pDn-1+qDn-2,n>2,這里p,q為常數，若q=0，則Dn=pDn-1=p2Dn-2=…=pn-1D1；若q≠0，令α，β是方程x2-px+q=0的兩個根。

(ⅰ)若α≠β，則Dn=C1αn+C2βn。

(ⅱ)若α=β，則Dn=αn［(n-1)C1+C2］。

其中C1,C2由初始條件可以得到。利用上面的方法就可以迎刃而解。

總述：由以上討論和具體應用可以看出,遞推法在行列式求值問題中發揮著巨大的作用,其中著名的Vandermonde行列式也可用遞推法歸納總結,所以我們應該掌握這種方法,既可以擴展解題思路,同時可以提高我們的抽象思維能力。

【參考文獻】

［1］張永曙。考研數學應試強化輔導與題解指南。西安：西北工業大學出版社,1997。

［2］趙樹嫄。線性代數典型題解析及自測試題。西北工業大學出版社,2000。

［3］同濟大學數學教研室編。工程數學線性代數。北京：高等教育出版社。