復變函數論課堂教學法的幾點探索復變函數論課堂教學法的幾點探索

徐瑞萍

復變函數論是高等學校數學與應用數學專業的一門重要專業課，是數學分析的后繼課程.它的理論和方法已深刻滲透到代數學、解析數論、微分方程、計算數學等數學的各個分支，同時在物理的流體力學、熱力學和其他的科學領域及科學技術中都有廣泛應用.所以，無論從知識結構的承前啟后，還是從能力的培養方面，復變函數論的學習都起著十分重要的作用.然而，由于改革的需要，復變函數論課程的總課時減少，如何在有限的課時內科學合理地安排教學內容，提高教學質量，使學生既掌握理論知識，又學會學習方法，培養創新和自主學習的能力，是教師面對的一個亟待解決的問題.下面幾種教學法是筆者在復變函數論課堂教學中的有益探索.

一、善于運用類比教學

復變函數是數學分析的后繼課程，是數學分析的繼續和發展.復變函數中許多概念和定理都與數學分析相應理論類似，但又有發展.在講授中，要指出聯系，強調區別，采用類比的方式講解相關內容是復變函數教學的重要方法之一.

例如，復變函數中，初等函數的定義方式和概念的形式與數學分析中的定義有很大的不同，性質也出現許多相異的地方.例如：實分析中指數函數是單調遞增的函數，復數域上指數函數是以2πi為基本周期的周期函數；實分析中正、余弦函數是有界的，而復數域上正、余弦函數是無界函數；特別是復數域上的對數函數、冪函數、反三角函數和反雙曲函數均為多值函數，這一點增加了復變函數研究的復雜性和難度.

在教學中，引導學生比較實、復分析中概念、定理的異同點，使得學生不斷思考，積極創造，用這種方法建構知識體系，完善知識結構，這樣既能夯實實分析基礎，又能在復變函數學習中達到事半功倍的效果.

二、開展研究性教學

研究性學習是一種研討式學習，是指教師以課程內容和學生的學識積累為基礎，引導學生創造性地運用知識的能力，自主地發現問題、研究問題和解決問題，在研討中積累知識、培養能力和鍛煉思維的新型教學模式.

下面以復變函數論第六章第一節“留數”的學習為例，設計了研究性教學，過程如下：

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教師：前面我們學習了復積分理論，掌握了一些計算復積分的公式和定理，利用所學知識能解決一些復積分的計算，但是在理論與實際問題中常遇到這樣的積分：①∫|z| =1ez-1z7dz，②∫|z| =2z51+z6dz.看到這兩個積分，學生回憶以前所學的知識，發現它們都不滿足前面學習過的柯西積分定理和柯西積分公式的條件，因此都不能直接用已學知識來計算.

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于是學生開始提出一些問題.

甲：如何計算被積函數在積分周線內有本質奇點的復積分？

乙：如果被積函數在積分周線內的不解析點是階數較高的極點，有沒有簡單的方法計算復積分？

丙：如果被積函數在擴充復平面上有有限個不解析點，而且在積分周線內的不解析點又比較多，這樣的復積分如何計算？

教師：這一節我們一起來研究解決上述問題，即第六章第一節“留數”.

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下面進行分組探討，讓各小組代表發言，闡明研究方案.

小組1：留數的定義及留數定理、留數的求法

小組2：無窮遠點留數的定義及求法

小組3：上述積分的計算.

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教師：通過留數定義、定理的學習，意味著我們可以用它解決數學問題：計算積分∫|z| =21(z+i)10(z-1)(z-3)dz.

問題1：被積函數在擴充復平面上的孤立奇點有幾個？分別是什么類型的？

學生：z=-i是10階極點，z=1和3都是1階極點，還有無窮遠點是孤立奇點.

問題2：被積函數在|z|=2內有1個10階極點，留數不易直接求，應該怎么辦？

學生：通過定理，把求周線內部奇點的留數轉化為求周線外部奇點的留數，因此可以求出無窮遠點的留數，進而求出復積分.

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通過這節課的討論，大家互相合作，共同探究，能夠積極主動地學習、思考、辨析、遷移和醒悟，實現了從定義、定理學習到應用的完整過程，同學們的潛能得到開發.這對培養學生的發散性思維、求異思維、創造性思維大有益處.

三、教師精講與學生自學相結合

復變函數中有一些較難理解的內容和較難證明的定理，如采用限制輻角或割破復平面的方法來分出初等多值函數中根式函數與對數函數的單值解析分支、柯西定理的古莎證明等，都是一些重要而較難理解和證明的內容，對這部分知識教師要在認真備課的基礎上向學生精講.對一些容易理解的內容，如復數、復平面上點集、導數的定義和求導公式等，這些內容與數學分析中的內容幾乎是一樣的，如果再講，既浪費了時間，學生聽起來也不會感興趣.教師在課堂上可以作一些指導性的提示，讓學生自己閱讀，培養他們的閱讀能力和自學能力.總之，合理地安排教學內容，給學生自學的機會，要把“教學生學會”變為“教學生會學”，既減少了學生學習這門課程的困難，又科學合理地利用了課時.

總之，復變函數論的課堂教學改革是一個不斷探索與實踐的過程，需要教師全身心地投入，不斷嘗試與總結，才能做好復變函數的教學工作，切實培養學生的探究能力和自主學習的能力.利用上面的方法，筆者所教數學本科專業2008～2011級的學生都對復變函數課程表現出了很大的興趣，取得了很好的教學效果。