例析數列的定義證明

周忠雅

高中數學教材中，對等差、等比數列作了如下的定義：一個數列從第二項起，每一項與前一項的差等于一個常數，則這個數列叫等差數列，常數稱為等差數列的公差。一個數列從第二項起，每一項與前一項的比等于一個常數，則這個數列叫等比數列，常數稱為等比數列的公比。在涉及用定義來說明一個數列為等差數列或等比數列時，很多時候往往容易忽略定義的完整性，現舉些例子加以說明。

例1 ：已知數列前n項和sn=n2+2n，求通項公式an，并說明這個數列是否為等差數列。

解：n=1時，a1=s1=1+2=3；n≥2時，an=sn-sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1，因為n取1時，an=2×1+1=3=a1，所以an=2n+1，因為n≥2時，an-an-1=2為常數，所以{an}為等差數列。

例2：設數列{an}的前n項的和Sn=n2+2n+4，(n∈N+)。⑴求該數列的通項。⑵證明：數列{an}除去首項后所成的數列a2,a3,a4…是等差數列。

解：⑴由sn與an的關系，an=s(n=1)s-s-1(n≥2)，當n=1時，a1=s1=12+2×1+4=7.⑵當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(n2+2n+4)-[(n-1)2+2(n-1)+4]=2n+1，∵n取1時，an=2×1+1=3≠a1 ，∴an=7(n=1)2n+1(n≥2)，∴an+1-an=[2(n+1)+1]-(2n+1)=2,對于任意n≥2都成立，從而數列a2,a3,a4…是等差數列。

注：由于a2-a1=-2，故an+1-an=2不對任意n∈N成立，因此，數列{an}不是等差數列。

例3：設數列{an}的首項a1=1，前n 項和Sn滿足關系3tsn-(2t+3)sn-1=3t，求證{an}為等比數列。

注：因為3tsn-(2t+3)sn-1=3t僅在n≥2時有意義，所以遞推公式3tsn-1-(2t+3)sn-2=3t僅在n≥3時有意義。證明如下：n≥3時，3tsn-(2t+3)sn-1=3t，3tsn-1-(2t+3)sn-2=3t，兩式相減得：3t(sn-sn-1)-(2t+3)(sn-1-sn-2)=0，即：3tan-(2t+3)an-1=0，所以=。（這只能說明從第二項開始，后一項與前一項的比為定值，所以需要對第二項與第一項的比另外加以證明，以達到定義的完整性。）

又因為n=2時，3ts2-(2t+3)s1=3t，即3t(a1+a2)-(2t+3)a1=3t，還因為a1=1，所以3t+3ta2-(2t+3)=3t，所以a2=，所以=，所以對任意n≥2都有=為定值，所以{an}為等比數列。

總之，在用定義證明一個數列為等差數列或等比數列的時候，一定要注意下標n的取值范圍。不管是an-an-1、還是an-1-an-2、，或者其他情況，都要考慮定義的完整性，確保任何后一項與相鄰前一項的差（比）為定值，如有不全面的地方須另外加以補充。

（張家港職業教育中心校）