例析圓錐曲線中的最值問題

劉曉霞

圓錐曲線是解析幾何的難點(diǎn)，圓錐曲線中的最值問題又是圓錐曲線中的難點(diǎn)，一直是同學(xué)們比較頭痛的問題。通過多年的解題積累，本文結(jié)合例題，幫同學(xué)們分析了五種常用的方法。

一、利用準(zhǔn)線求最值

例1：p為橢圓+=1上一動點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，則PA+2PH的最小值為（ ），PA+PF的最大值為（）。略解：1）設(shè)P到右準(zhǔn)線X==4的距離為PH，因?yàn)?e=，所以，2PF=PH,即：PA+2PF=PA+PH，當(dāng)A,P,H三點(diǎn)共線時(shí)PA+2PF的值最小。PA+2PF的最小值為3。2）PA+PF=PA+2a-PF1=4+PA-PF1，只要求PA-PF1的最大值， 當(dāng)P,F1,A三點(diǎn)共線時(shí)PA-PF1取最值。PA-PF1的最大值為AF1=。評：利用準(zhǔn)線求最值，其模式為PA+PF，將 PF轉(zhuǎn)化為 P到準(zhǔn)線的距離。

二、三角換元求最值

例2：橢圓+=1上的點(diǎn)到直線l:x+y-8=0的最小距離是 （）。略解：設(shè)x=2cos?茲,y=sin?茲則橢圓上點(diǎn)p(2cos?茲,sin?茲)到直線l的距離為d==，當(dāng)cos(?茲+?漬)=-1時(shí)d取最小值。評：三角換元在橢圓和圓的相關(guān)題目中運(yùn)用起來比較靈活。（例2也可以用切線求最值）。

三、利用切線（數(shù)形結(jié)合）求最值

例3：拋物線y=-x2+2上的點(diǎn)到直線l:x+y-8=0的最小距離是（）。提示：設(shè)直線l1:x+y+b=0與拋物線y=-x2+2相切， x+y+b=0y=-x+2?圯x-x-b-2=0，△=1+4(b+2)=0?圯b= ，所以，l1:x+y-=0。所求的最小距離為直線l1與l之間的距離d==。評：切線法對于求拋物線上的點(diǎn)到直線的距離或者求橢圓到直線的距離比較適合。

四、利用焦半徑求最值

例4：橢圓+=1的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，P為橢圓上的點(diǎn)，K=PFPF，則k的最大值為（），最小值分別為（）。略解：設(shè)p(x,y)，根據(jù)焦半徑公式PF=a+ex,PF=a-ex,可得PFPF=a2-e2x2=4-x2(0?埕x2?埕4)，PFPF的最大值為4，最小值為2. 評：左焦半徑PF=a+ex1,右焦半徑PF=a-ex1，可以點(diǎn)間距離轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值。

五、利用二次函數(shù)求最值

例5：p為橢圓+y2=1上一動點(diǎn)，A(m,0)，則PA的最小值為 （ ）。解略，請同學(xué)們自己思考。

（張家港職教中心校）