中學數學開放題探析

方千

摘要:近幾年各類數學考題都突出了對學生數學創新能力的考查,新的題型不斷出現,“中學數學開放題”就是其中重要的一種,本文就“中學數學開放題”從幾方面作一些探析。

關鍵詞:數學開放題特點分類教育功能

中圖分類號:G633.6 文獻標識碼:A 文章編號:1674-098X(2012)06(c)-0120-01

1 中學數學開放題的概念界定

傳統的中學數學題基本上是封閉題,封閉題是指條件恰當,答案固定的習題。什么是“中學數學開放題”呢？目前尚無定論的問題,比較相同的看法是:開放題的答案不唯一,能否以此作為“中學數學開放題”的定義呢？有人對此提出疑問,一元二次方程的解也不唯一,那么解一元二次方程這類習題也算開放題嗎？看以下例子:

例1:解方程

“解方程”一詞的含義是求出所有使方程成立的未知數的值。上例中,盡管方程有兩個解(1和2),但其中任意一個不能獨立成為問題的正確答案。因此,例1的答案是唯一的,是一道封閉題。

如果我們改變這個問題的設問方式,試盡可能多地找出使等式成立的實數x。對于已經學習過“一元二次方程”的學生,我們根本沒有必要把問題敘述得如此復雜,而對于從未學過這一知識的學生來說,但可以用其他的方法找出方程的一個解或兩個解,這一個解或兩個解都可以成為正確答案,因此已基本具備開放題的特征,可a以認為是一道開放題。

通過分析,我們可以對“中學數學開放題”的概念給出以下的一個描述性的界定:中學數學開放題是指那些答案不唯一,并在設問方式上要求學生進行多方面,多角度,多層次探索的數學問題。

2 中學數學開放題的特點

在討論了開放題的概念以后,進一步考察它的特點,這有助于我們對它有更深的認識。中學數學開放題一般具有以下5個特點。

2.1 問題的條件常常是不完備的或者充足多余

一個開放題的條件可以不足,也可以多余。條件不足要求學生予以補充,條件多余要求學生選擇。

例2:(遼寧省中考試題)AB是⊙O的直徑,⊙O過AC的中點D,DE⊥BC于E點,由這些條件,你能推出哪些正確結論？

解答本題,由AB是⊙O的直徑,⊙O過AC的中點或者使用已知的三個條件推導∠A＝∠C,這樣條件DE⊥BC多余,但多余的條件使本題的解題策略具有開放性。

2.2 問題的答案是不確定的,具有層次性

開放題解答的多樣性,決定了它能夠滿足各種層次水平的學生的需求,使他們可以在自己的能力范圍內解決問題,從而體現出層次性。

例3:有一塊3×4矩形的地,請在這塊地上設計花園,使其面積是這塊地的面積的一半,并使圖形具有對稱性的美感。

筆者將此題出給某校初二、高一學生解答,他們在思考與作圖時,很好地利用了圖形的對稱性畫出了美麗的圖形,發現了多種不同的答案。圖1是其中的幾種。

2.3 問題的解決策略具有非常規性、發散性和創新性

解答開放題時,往往沒有一般的解題模式可以遵循,有時需要打破原有的思維模式,從多個不同的角度思考問題,有時發現一個新的解答需要一種新的方法或開拓一個新的研究領域。

例4:宴會上有5個客人,如果每人同所有其他客人握手,共會有多少次握手？10人呢？20人呢？n個人呢？

本題來源于華東版初中數學輔助教材,在解答它時,就沒有一般的解題模式可以遵循。有的學生可以選擇實驗一下這個問題；有的學生可能會畫一個凸五邊形,如圖2,有多少條邊和多少條對角線來近似描述這個問題；其他學生可以從簡單的表格來尋找規律……

2.4 問題的研究具有探索性與發展性

對一個開放題的研究與封閉題有很大的不同,這主要體現在對答案的探索性和問題本身可層層發展成為一系列的問題。

例5:家庭或公共場所在裝飾地面時,常常用各種正多邊形形狀的地磚鋪砌成形式多樣的圖案。這種用形狀相同或不同的平面封閉圖形,把一塊地面既無縫隙,又不重疊地全部覆蓋,在幾何里面叫做平面鑲嵌,問:單獨使用正幾邊形可以平面鑲嵌。

盡管本題只有三種答案:正三角形,正四邊形,正六邊形。但要找到全部三個解答卻需要一個較長的探索過程。不僅如此。本題還可進一步發展出兩個問題:(1)用兩種正多邊形可以鑲嵌嗎？(2)一般的凸多邊形可以鑲嵌嗎？

2.5 問題的教學具有參與性和學生主體性

由于開放題沒有固定的標準答案,這就使得教師在課堂教學中難以使用“灌輸式”的教學方法。學生的主動參與解題活動不但成為可能,而且是非常自然和必要的。例如,在例3的教學中,如果教師仍然采用“灌輸式”的方法一個一個地介紹幾十個答案,必將會受到來自學生的反對,一些學生早已用自己的方法找到了教師還來不及講的,甚至是教師事先根本沒有預料到的答案,他們希望老師與學生一起分享成功的喜悅,這就使課堂教學自然地走向了以學生主動參與為主要特征的教學。以上是開放題的五大特點,它為討論開放題的類別打下了基礎。

3 中學數學開放題的分類

開放題共分四類:(1)若其未知的要素是假設,則為條件開放題；(2)若其未知的要素是推理,則為策略開放題；(3)若其未知的要素是判斷,則為結論開放題；(4)有的問題只給出一定的情景,其條件,解題策略與結論都要求主體在情景中自行設定與尋找,這類題稱為綜合開放題。

4 中學數學開放題的教育功能

開放題的教育功能主要有以下四個方面。

(1)開放題為學生提供了自己進行思考并用他們自己的數學觀念來表達的機會,這和他們在數學學習中的發展是一致的。(2)開放性問題要求學生構建自己的反映而不是選擇一個簡單的答案。(3)開放性問題允許學生表達他們對問題的深層次理解,這是在多項選擇中是無法做到的。(4)開放性問題鼓勵學生用不同的方法去解決問題,反過來要求老師用不同的方法解釋數學概念。

參考文獻

[1] 戴再平.高中數學開放題集[M].上海:上海教育出版社,2002.

[2] 戴再平.開放題—— 數學教學的新模式[M].上海:上海教育出版社,2002.

[3] 賈太珍,江啟秀.“非常規問題”及其教學策略[J].中學數學教學參考,2000.