中學(xué)數(shù)學(xué)開放題探析

方千

摘要:近幾年各類數(shù)學(xué)考題都突出了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的考查,新的題型不斷出現(xiàn),“中學(xué)數(shù)學(xué)開放題”就是其中重要的一種,本文就“中學(xué)數(shù)學(xué)開放題”從幾方面作一些探析。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)開放題特點(diǎn)分類教育功能

中圖分類號(hào):G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1674-098X(2012)06(c)-0120-01

1 中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的概念界定

傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)題基本上是封閉題,封閉題是指條件恰當(dāng),答案固定的習(xí)題。什么是“中學(xué)數(shù)學(xué)開放題”呢？目前尚無定論的問題,比較相同的看法是:開放題的答案不唯一,能否以此作為“中學(xué)數(shù)學(xué)開放題”的定義呢？有人對(duì)此提出疑問,一元二次方程的解也不唯一,那么解一元二次方程這類習(xí)題也算開放題嗎？看以下例子:

例1:解方程

“解方程”一詞的含義是求出所有使方程成立的未知數(shù)的值。上例中,盡管方程有兩個(gè)解(1和2),但其中任意一個(gè)不能獨(dú)立成為問題的正確答案。因此,例1的答案是唯一的,是一道封閉題。

如果我們改變這個(gè)問題的設(shè)問方式,試盡可能多地找出使等式成立的實(shí)數(shù)x。對(duì)于已經(jīng)學(xué)習(xí)過“一元二次方程”的學(xué)生,我們根本沒有必要把問題敘述得如此復(fù)雜,而對(duì)于從未學(xué)過這一知識(shí)的學(xué)生來說,但可以用其他的方法找出方程的一個(gè)解或兩個(gè)解,這一個(gè)解或兩個(gè)解都可以成為正確答案,因此已基本具備開放題的特征,可a以認(rèn)為是一道開放題。

通過分析,我們可以對(duì)“中學(xué)數(shù)學(xué)開放題”的概念給出以下的一個(gè)描述性的界定:中學(xué)數(shù)學(xué)開放題是指那些答案不唯一,并在設(shè)問方式上要求學(xué)生進(jìn)行多方面,多角度,多層次探索的數(shù)學(xué)問題。

2 中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的特點(diǎn)

在討論了開放題的概念以后,進(jìn)一步考察它的特點(diǎn),這有助于我們對(duì)它有更深的認(rèn)識(shí)。中學(xué)數(shù)學(xué)開放題一般具有以下5個(gè)特點(diǎn)。

2.1 問題的條件常常是不完備的或者充足多余

一個(gè)開放題的條件可以不足,也可以多余。條件不足要求學(xué)生予以補(bǔ)充,條件多余要求學(xué)生選擇。

例2:(遼寧省中考試題)AB是⊙O的直徑,⊙O過AC的中點(diǎn)D,DE⊥BC于E點(diǎn),由這些條件,你能推出哪些正確結(jié)論？

解答本題,由AB是⊙O的直徑,⊙O過AC的中點(diǎn)或者使用已知的三個(gè)條件推導(dǎo)∠A＝∠C,這樣條件DE⊥BC多余,但多余的條件使本題的解題策略具有開放性。

2.2 問題的答案是不確定的,具有層次性

開放題解答的多樣性,決定了它能夠滿足各種層次水平的學(xué)生的需求,使他們可以在自己的能力范圍內(nèi)解決問題,從而體現(xiàn)出層次性。

例3:有一塊3×4矩形的地,請(qǐng)?jiān)谶@塊地上設(shè)計(jì)花園,使其面積是這塊地的面積的一半,并使圖形具有對(duì)稱性的美感。

筆者將此題出給某校初二、高一學(xué)生解答,他們?cè)谒伎寂c作圖時(shí),很好地利用了圖形的對(duì)稱性畫出了美麗的圖形,發(fā)現(xiàn)了多種不同的答案。圖1是其中的幾種。

2.3 問題的解決策略具有非常規(guī)性、發(fā)散性和創(chuàng)新性

解答開放題時(shí),往往沒有一般的解題模式可以遵循,有時(shí)需要打破原有的思維模式,從多個(gè)不同的角度思考問題,有時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的解答需要一種新的方法或開拓一個(gè)新的研究領(lǐng)域。

例4:宴會(huì)上有5個(gè)客人,如果每人同所有其他客人握手,共會(huì)有多少次握手？10人呢？20人呢？n個(gè)人呢？

本題來源于華東版初中數(shù)學(xué)輔助教材,在解答它時(shí),就沒有一般的解題模式可以遵循。有的學(xué)生可以選擇實(shí)驗(yàn)一下這個(gè)問題；有的學(xué)生可能會(huì)畫一個(gè)凸五邊形,如圖2,有多少條邊和多少條對(duì)角線來近似描述這個(gè)問題；其他學(xué)生可以從簡(jiǎn)單的表格來尋找規(guī)律……

2.4 問題的研究具有探索性與發(fā)展性

對(duì)一個(gè)開放題的研究與封閉題有很大的不同,這主要體現(xiàn)在對(duì)答案的探索性和問題本身可層層發(fā)展成為一系列的問題。

例5:家庭或公共場(chǎng)所在裝飾地面時(shí),常常用各種正多邊形形狀的地磚鋪砌成形式多樣的圖案。這種用形狀相同或不同的平面封閉圖形,把一塊地面既無縫隙,又不重疊地全部覆蓋,在幾何里面叫做平面鑲嵌,問:單獨(dú)使用正幾邊形可以平面鑲嵌。

盡管本題只有三種答案:正三角形,正四邊形,正六邊形。但要找到全部三個(gè)解答卻需要一個(gè)較長(zhǎng)的探索過程。不僅如此。本題還可進(jìn)一步發(fā)展出兩個(gè)問題:(1)用兩種正多邊形可以鑲嵌嗎？(2)一般的凸多邊形可以鑲嵌嗎？

2.5 問題的教學(xué)具有參與性和學(xué)生主體性

由于開放題沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)答案,這就使得教師在課堂教學(xué)中難以使用“灌輸式”的教學(xué)方法。學(xué)生的主動(dòng)參與解題活動(dòng)不但成為可能,而且是非常自然和必要的。例如,在例3的教學(xué)中,如果教師仍然采用“灌輸式”的方法一個(gè)一個(gè)地介紹幾十個(gè)答案,必將會(huì)受到來自學(xué)生的反對(duì),一些學(xué)生早已用自己的方法找到了教師還來不及講的,甚至是教師事先根本沒有預(yù)料到的答案,他們希望老師與學(xué)生一起分享成功的喜悅,這就使課堂教學(xué)自然地走向了以學(xué)生主動(dòng)參與為主要特征的教學(xué)。以上是開放題的五大特點(diǎn),它為討論開放題的類別打下了基礎(chǔ)。

3 中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的分類

開放題共分四類:(1)若其未知的要素是假設(shè),則為條件開放題；(2)若其未知的要素是推理,則為策略開放題；(3)若其未知的要素是判斷,則為結(jié)論開放題；(4)有的問題只給出一定的情景,其條件,解題策略與結(jié)論都要求主體在情景中自行設(shè)定與尋找,這類題稱為綜合開放題。

4 中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的教育功能

開放題的教育功能主要有以下四個(gè)方面。

(1)開放題為學(xué)生提供了自己進(jìn)行思考并用他們自己的數(shù)學(xué)觀念來表達(dá)的機(jī)會(huì),這和他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的發(fā)展是一致的。(2)開放性問題要求學(xué)生構(gòu)建自己的反映而不是選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的答案。(3)開放性問題允許學(xué)生表達(dá)他們對(duì)問題的深層次理解,這是在多項(xiàng)選擇中是無法做到的。(4)開放性問題鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法去解決問題,反過來要求老師用不同的方法解釋數(shù)學(xué)概念。

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