數學教學中“類比法”的運用

梁曉輝

在數學教學過程中，我們常常會有“似曾相識”的感覺，而且在不同分支、不同領域中會感到某種類似的成分。如果我們把這些類似進行比較并加以聯想的話，可能出現許多意想不到的結果和方法。這種把類似進行比較、聯想，由一個數學對象已知特殊性質遷移到另一個數學對象上去，從而獲得另一個對象性質的方法就是類比法。

在數學教學中，根據教材特點運用類比的方法，既可以提高課堂教學的效果，又有助于培養學生類比的能力。

一、分式與分數的類比

首先，要用與分數類比的方法導出分式概念、分式基本性質與分式的四則運算法則。一個分數由分子、分母和分數線構成，分子、分母都是數，但分母不能是零。為什么分母不能為零呢？因為零不能做除數，如果分子等于零，只要分母不是零，這個分數的值就是零。再把分數的概念引申到代數式來，發現分式由分子、分母與分數線構成，分母中含有字母，這樣就很自然地引入了分式的概念，接著指出分數與分式的區別所在：分數與分式形式相同，但分式中的分子、分母均為整式，且分母是含有字母的整式。

其次，在講分式的基本性質時，先通過復習分數的基本性質來進行推想。我們回憶如何做不同分母分數的加法，是先將異分母化為同分母，這是根據什么呢？根據分數的基本性質：分數的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的數，分數的值不變，分式是一般化了的分數，分式應該有 ，這里A、B、M是整式，根據分式的概念要求，由分數的基本性質應該想到。因此，分式的基本性質是分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。此外，當一個分數的分子分母有公因數時，我們就可以利用分數的基本性質，將分數中分子分母中的公因數約去，從而成為最簡分數。同理，由于分式也具有與分數相似的基本性質，所以我們也可以根據分式的基本性質將分式中分子分母中的公因式約去，化成最簡分式。（這個概念可由學生總結出）

第三，兩個分數相乘時，分子乘分子，分母乘分母；兩個分式相乘時，也應該分子乘分子，分母乘分母，除去一個分數等于乘以這個分數的倒數。同理，除以一個分式時，也應乘以這個分式的倒數。兩個同分母分數相加減時，分母不變，分子相加減；同分母分式相加減時，分母不變，分子相加減。異分母分數相加減時，要先進行通分，化成同分母分數后再加減；異分母分式相加減時，也要先進行通分，化成同分母分式，然后再加減。分數通分時，要先找各分母的最小公倍數，分式通分時，也要先找分母的最簡公分母。在解整式方程式時（特別是含有分母時），一般要先經過去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化1的過程，那么在解分式方程式，也要用以上方法去解。

二、實數和代數式的類比

首先是分類的類比，實數分成有理數和無理數，有理數分成整數和分數，整數分成正整數、零和負整數；代數式分成有理式和無理式，有理式分成整式和分式，整式分成單項式和多項式。其次是實數與整式在各自的運算律以及添括號、去括號法則等都是可以類比的，特別是在有理數乘法分配律中。當a(b+c)=ab+ac，a、b、c都換成單項式時，即可得出單項式乘以多項式的法則；當(a+b)÷c=(a+b)/c=a/c+b/c=a÷c+b÷c，其中的a、b、c都換成單項式時，即可以得出多項式除以單項式的法則；當(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，其中的a、b、c、d代表單項式或多項式，即可以表示多項式乘以多項式的法則。

三、等式和不等式的類比

在講解等式和不等式時，可以根據天平的功能類比出等式和不等式的性質。

天平的杠桿相當于等號和不等號，天平的左盤和右盤相當于等式和不等式的左邊和右邊。當天平的兩邊分別增加和減少相同的質量時，天平仍然平衡，即給等式兩邊同時加上或減去一個相同的數或代數式時，等式仍然成立。當給天平的兩端同時擴大或縮小相同的量時，天平兩端仍然平衡，即給等式的兩邊同時乘以或除以一個相同的數時，等式仍然成立。

當天平傾斜時，給天平的兩端同時加上或減去一個相同的量時，天平的傾斜方向不變，即不等式具有性質1。當天平的兩端同時擴大或縮小相同的數時，天平的傾斜方向仍不變，即不等式具有性質2（對于負數另外考慮）。

四、一元一次方程和一元一次不等式的類比

首先，我們可以根據一元一次方程的概念類比推出一元一次不等式的概念，明確它們之間的相同點和不同點。其次，由于等式具有基本性質1，所以我們解方程時可以移項。同理，由于不等式也具有與等式一樣的基本性質1，所以在解不等式時，也可以移項。解法的一般步驟中前幾步都是一樣的，去分母、去括號、移項、合并同類項，包括最后一步的名稱都是一樣的：系數化為1 ，只不過由于等式和不等式在性質上的一個差別：兩邊除以同一個負數時，等式不變，而不等式的符號就要改變方向，才導致方程和不等式在最后一步上的不同。我們在教學中牢牢抓住這個不同，對學生進行強化，就會幫助學生正確掌握一元一次不等式的解法。同樣，在解方程組時，是求方程組中幾個方程的公共解，在解不等式組時，也是求不等式組內幾個不等式的公共解，這也是可以進行類比的地方。

五、相似三角形與全等三角形的類比

相似三角形與全等三角形判斷方法有聯系。在相似與全等三角形的判定中，有關角的條件都是對應角相等，有關邊的條件，全等三角形中是對應邊相等，而相似三角形中是成比例，只要把全等三角形判定中的對應邊相等改為對應邊成比例，就相應得到相似三角形的判定方法。全等三角形必須有一組對應邊相等，而判定相似三角形時，可舍去此條件。

概念的區別。全等三角形是能夠完全重合的三角形。包括形狀相同，大小也相同兩個方面；相似三角形只是形狀相同而大小不一定相同。即只是對應角相等，而對應邊成比例，當對應邊的比值等于1時，就全等，因此全等三角形是相似三角形的特例。掌握它們之間的聯系與區別，問題就迎刃而解。

因此，類比聯想在解決問題中有著廣泛的作用，同樣在數學教學中采用類比教學可以梳理知識、歸納題型、總結解題方法，既利于學生記憶和掌握所學知識，又有利于培養學生聯想思維的靈活性。在課堂上，運用類比教學，可以節省大量的時間，鮮明地區分兩個相似知識的異同，更加有利于學生的數學學習，我將在實踐中更加合理地加以運用和提高。