拓撲空間童話記(上)

孫立群

變形蟲的奇遇

有一種很微小很微小的單細胞生物名叫阿米巴（ameba），由于它的身體會不斷地變化，生物學家給它取名為“變形蟲”，這小蟲在臟水中生長，有時會鉆進人的肚子里去，使得人們腹瀉，嚴重時還能致人死亡。有一次，一個生物學家把一滴臟水放到顯微鏡底下觀察，他看到這滴水的世界真是神奇萬千：有含葉綠素的藻，有長著鞭毛迅速游泳的一些鞭毛蟲，他還看到兩只變形蟲。

生物學家童心大起，拿了一個很小很小的線圈放到玻璃片上把變形蟲圍起來。于是從顯微鏡下，他看到其中一只變形蟲左沖右撞，想要從圈子過去，另外一只變形蟲卻像在練瑜珈的老僧一樣一動也不動。（見圖一）

這生物學家的顯微鏡安裝有最新式的“細菌語言播音機”，因此他能聽到這兩只變形蟲的對話。

“我的老天爺，這是什么墻?為什么把我關起來，我要出去，我不愿意在一個狹小的天地里。”那只急躁不安的小變形蟲在叫喊。

“碰！碰！碰！”小變形蟲把身體往墻上撞（事實上這墻在大人的眼中只不過是一個小線圈），它的身體撞痛了，因而扭曲得很厲害。

小變形蟲用身體去撞那個如老僧坐定的變形蟲，對它喊叫：“喂！我們被關起來了，為什么你還不想出去？你究竟是什么變形蟲？難道不知道‘不自由、毋寧死的道理嗎？”

那只不動的變形蟲伸伸懶腰，開口說話：“為什么吵吵鬧鬧，把我從我的數學思考中吵醒？我是阿米巴數學家，我在研究微妙的數學真理，你不該來吵我。”

小變形蟲說：“我們已經失去自由了，你還在研究那什么都看不見的數學，你快想個妥善的方法，使我們能脫離困境。”

阿米巴數學家說：“你別急躁！我給你講一個故事。”它一面慢慢地把它身體的一部份拉長變成手指，然后在沉積一些薄薄的污泥的玻璃面上畫了一條線。

“你看：這條線可以向左右兩端無限延長，這上面生活了兩個小點，它們只能在這線上自由跑動，向左移動或者向右移動，我現在把它們活動的空間切斷。你看，畫兩條線把這線截下來，讓我們聽聽這兩個小點的對話吧！”

只見一個小圓點正在焦急不安地不斷撞墻。（事實上，在變形蟲的眼中，那只不過是一截小線段。）它把頭撞得腫痛，于是倒轉回來，撞那個好像“天塌下來，什么事都和我無關”的小圓點。

“你怎么撞我呢？”懶得動一動的小圓點責怪那位不安分的小圓點。“我正在研究數學，你把我從那美妙的世界帶回現實世界，破壞了我的玄想，實在豈有此理！”

“唉呀呀！我們被關閉起來了！現在我把你喚醒，希望我們可以想一個方法跑出牢籠，你怎么能隨便怪我呢？”

小圓點數學家被那個緊張兮兮的小圓點推到墻面前，要他研究出去的方法，小圓點數學家沉思片刻回答：“有什么難呢？我們生活在一維空間里 ，實際上還有一個叫二維空間的世界，只要你跑進二維空間的世界，你的自由度就能增加，你仍可以繞過障礙回到我們原來的世界。”

小變形蟲呱呱喊叫說：“這有什么了不起的？非常明顯。小圓點真笨，還要小圓點數學家解釋才明白。”（見圖二）

變形蟲數學家嚴肅地說：“不要譏笑比你差的人！嘲笑別人的人，總有被人嘲笑的時候。我們是二維空間的生物，還有一個三維世界。我們的世界，只有東南西北的方向，在那個世界有一種叫‘上、下的區分，就像小圓點的世界只有‘左、右的方向，而沒有我們的‘東南西北，因此你只要進入三維世界，把身體向上伸，你就可以越過障礙，回到你的世界去。”（見圖三）

以上的故事是我編出來回答一位學生物的朋友的。他問我為什么有一些數學家在遭受打擊或關在牢籠時（這是他看過我的書之后提出的問題）還能做研究。

我的故事是對數學家的玩笑，也包括對我自己的自嘲。但是里面卻有一些哲理，讀者只要把它當作禪宗里的老和尚的偈語看待，去參透參透，總會悟到一些道理。“天機不可泄漏”，我不想多說。

小王子和傷腦筋的國王

法國有一本著名的兒童故事書叫《小王子》，這里面有一個天真無邪的小孩名叫“小王子”，許多國家的兒童都知道他的故事。可惜作者創作這個故事之后，卻因喜歡駕飛機而失事，從此沒有新的“小王子”的故事出現。

有一次，我因生病孤寂地躺在床上，我聽到一個微弱的聲音：“對不起！對不起！讓我自由。”（Sil vous plait! sil vous plait! Liberez moi!）

我循著聲音傳來的方向找去，在書架上看到一個像小蜻蜓的小東西，正在掙扎地要從一本書里爬出來。“唉呀！你不是小王子嗎？！”我驚異地喊起來。

我連忙把書從書架里抽出，打開書，小王子就從書上跳到我的手上。“這樣是比較舒服。”小王子對我說。

我躺回床上，把小王子放在我的被上，我問他：“告訴我小王子！你以后還有什么奇異的經歷？請你告訴我，我很想知道。我很高興你能來找我。”

“唉！我走了很多星球，看了各種各樣的生物，我可以告訴你一些。”下面是他講的一個故事：

“有一天，我來到一個星球，這星球只有一個國王。”

“這國王有一個美麗的王后，她懷孕了。國王說：‘如果我們有一個王子，這王子就繼承我的星球。如果生下兩個王子，我就把星球分成南半球和北半球，由他們分管。王后問：‘萬一我生下3個王子，你怎么分給他們呢？國王說：‘很容易。我只要站在北極上，往南極劃3條線，這星球的土地就被分成3塊，他們能互相來往而不需要通過第三者的國土。王后再問：‘如果我是生下4個王子，你能不能再把領土分配，使他們兄弟能直接來往，而不必通過第三者的國土呢？國王說：‘很容易，你看我這樣分配國土。國王一面說一面在桌上畫了一個圓，然后就在圓形上畫弧（見圖四）。‘我只要把老大，老二、老三、老四照圖上的安排法，他們就能互相往來，不必經過第三者的國土了。”

“我去到那里的時候，王后卻是一生就生下5個小王子，全國人民都很高興，國王也高興。國王在給這些孩子取名之后，就想早一點安排他們以后應有的領地，可是他卻一直安排不出來，他召了幾個大臣及最有智慧的老人來商量，也沒有人能使每個孩子的領地都能和其他的兄弟接壤，使他們可以直接來往，不經過其他人的領土。”

“我看國王畫的圖，真是多種多樣，的確是沒有一個能符合要求，我帶回了幾個國王和大臣們設計的圖。（見圖五）”

我現在拿了這些圖來給你看，你能不能幫幫國王呢？

我把小王子給我看的圖來一個變化……

（未完待續）