周期函數的周期性在題解中的應用

雷兆鋒

摘要： 周期函數在定義域內的形態是周期變化的，所以在解決周期函數的有關問題時，常利用它的周期性解題.

關鍵詞： 周期函數題解應用周期性

設f（x）是定義在某一數集D上的函數，若存在一常數T（T≠0），具有性質：（1）?坌x∈D，有x±T∈D;（2）?坌x∈D，有f（x±T）=f（x）.那么稱T為f（x）的一個周期.如果所有正周期中有一個最小的，稱它為函數f（x）的最小正周期.

一、求函數的周期

引理1：若周期函數f（x）有最小正周期T，則kf（x）+c（k≠0），1/f（x）也有最小正周期T；函數f（ax+b）（a≠0）有最小正周期T/|a|.

例1.求y=tgx+ctg2x的最小正周期

分析：將函數解析式化為只含有一個三角函數式的形式，再求最小正周期.

解：y=tgx+ctg2x=sinx/cosx+cos2x/sin2x=cos（x-2x）/cosxsin2x=1/sin2x

函數y=sinx的最小正周期為2π

函數y=sin2x的最小正周期為π

函數y=1/sin2x的最小正周期為π

故函數y=tgx+ctg2x的最小正周期為π

由例1可知解這類問題的一般方法是將解析式化為只含有一個三角函數的形式，通過三角函數的周期，求所給函數的周期.

二、求函數的定義域

引理2：若f（x）有最小正周期T，則f（x）的任何正周期T一定是T的整數倍.

例2.求函數y=1/（1+tgx）的定義域

分析：分式有意義的條件是分母不為零，還要注意正切函數本身要有意義.

解：要使函數y=1/（1+tgx）有意義，則1+tgx≠0且x≠kπ+π/2（k∈Z）

要使1+tgx≠0即tgx≠-1，

又∵函數y=tgx的周期是π

∴在（-π/2，π/2）內，x≠π/4

∴x≠kπ+π/4（K∈Z）

故函數y=1/（1+tgx）的定義域為{x|x∈R，且x≠kπ+π/4，x≠kπ+π/2，k∈Z}.

因為周期函數在定義域內形態呈周期變化，所以研究這種函數時，不必分析其整個定義域內的情況，而只需在一個定義域內討論特解.

引理3：如果f（x）是g（x）定義在同一個集合M上的周期函數，周期分別為T和T，且T/T=a，而a是有理數，則它們的和、差、積也是周期函數，且T和T的公倍數為其一個周期.

三、求函數的極值

例3.求函數y=1+sinx+cosx+sinxcosx的最大值

解：設函數y=sinx+cosx，y=sinxcosx

∵y=sinx+cosx=cos（x-π/4）

∴y的周期是T=2π

∴當x=2kπ+π/4（k∈Z）時，y有最大值

有∵y=sinxcosx=sin2x/2，y的周期T=π

∴當x=kπ（k∈Z）時，y有最大值1/2

又∵T與T的公倍數為2π

由上述定理可知，2π是函數y=1+y+y的一個周期，而在［0，2π］內，y、y都只有一個最大值點x=π/4

當x=2kπ+π/4（k∈Z）時，y=1+y+y=（3+2）/2

四、解方程

例4.解方程tg10x+tg2x=0

解:設y=tg10x，y=tg2x，則他們的最小正周期分別為T=π/10、T=π/2

由上述引理可知，它們的最小公倍數π/2就是函數y=tg10x+tg2x的一個周期.在［0，π/2］內，方程無意義的點的集合是M={π/20，3π/20，π/4，7π/20，9π/20}

將方程改寫為tg10x=tg（-2x）

10x=k-2x，即x=kπ/12（k∈Z）

當k取0，1，2，3，4，5，6時，x在［0，π/2］上的值分別為0，π/12，π/6，π/4，π/3，5π/12，π/2，但π/4∈M，故不能是方程的根.

原方程的根是x=nπ/2+kπ（0≤k≤6，k≠3，k∈Z，n∈Z）

五、解不等式

例5.解不等式cos3x+2cosx≤0

解：∵cos3x+2cosx=2cos2xcosx+cosx=cosx（2cos2x+1）≤0

由cosx=0，得x=kπ+π/2（k∈Z）

由（2cos2x+1）=0得x=kπ±π/3（k∈Z）

又y=cosx的周期T=2π，y=2cos2x+1的周期T=π，它們的最小公倍數2π，故在［0，2π］上，cosx=0的根為π/2，3π/2；（2cos2x+1）=0的根為π/3，，2π/3，4π/3，5π/3，所以cos3x+2cosx=0在［0，2π］有6個根，它們分別為π/2，3π/2，π/3，2π/3，4π/3，5π/3故不等式的解集為：

M={x|2kπ+π/3≤x≤2kπ+π/2}∪{x|2kπ+2π/3≤x≤2kπ+4π/3}∪{x|2kπ+3π/2≤x≤2kπ+5π/3}（k∈Z）

從以上幾類可以知道，從三角形的周期性解決數學問題，借助三角形周期性這一特殊性質可以解決相關數學問題并且使之簡單化，所以當我們利用三角形函數周期性解決這些問題時，前提是必須理解和掌握三角形的周期性.

參考文獻：

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［3］柳俊峰.移動電話網絡的優化設計［J］.數字技術與應用，2011，（08）.