均值不等式在一個問題解決中的應用

畢德毅 逯艷

問題：求證++…+＞1

由于此問題是一個與自然數有關的命題，因此可以使用數學歸納法解決.又由于此問題左端可看做一函數（數列），因而可通過構造函數的方式解決.在此，本文主要討論使用均值不等式來求解.

均值不等式：設a，a，…，a是n個正數，則

≤≤≤

即調和平均值H（n）≤幾何平均值G（n）≤算術平均值A（n）≤均方根平均值Q（n），

等號當且僅當a=a=…=a時成立.

（1）幾何平均小于算術平均

++…+

≥（2n+1）

=

而≥1，k≤n

∵（n+k）（3n+2-k）≤（）=（2n+1）

當且僅當n+k=3n+2-k，即n=k-1時，取等號，而n=k-1≤k，所以不能取等號.

∴＞1

∴>1

∴++…+>1

（2）調和平均小于算術平均

++…+≥==1

當且僅當==…=時取等號，故等號取不到.

∴++…+＞1

（3）算術平均大于幾何平均

∵+＞2＞2=

+＞2＞2=

……

+＞2＞2=

∴++…+＞+=1

基金項目：山東省研究生教育創新計劃資助項目資助（課題編號SDYY11154）；魯東大學—煙臺市教育局校地聯合教學改革項目成果（課題編號412——20101206）。