高等代數與解析幾何合并授課的探討

華義平 李小新

摘要： 高等代數與解析幾何是數學專業兩門非常重要的基礎課，聯系非常緊密，幾何為代數提供直觀背景，代數為幾何提供研究方法。為了更好地融合高等代數與解析幾何的知識，使教學內容達到最有效的合理配置，目前數學界在教學上已有將兩者融為一體的思路與做法。本文結合教學實踐，淺議這種合并的必要性，并列舉它們相互滲透的一些實例。

關鍵詞： 高等代數解析幾何合并教學

高等代數與解析幾何是數學專業兩門非常重要的基礎課，1997年以前，大多數學校分開設課，隨著高等教育教學改革的不斷深入，近年來部分學校在教學上已有將兩者融為一體的思路與做法。我們結合教學實踐，淺議這種合并的必要性，并列舉它們相互滲透的一些實例。

1.高等代數與解析幾何合并授課的必要性

高等代數與解析幾何是數學專業學生必修的兩門基礎課，按照教學計劃的要求，一般院校都在大一的第一學期與數學分析一起同時開設，由于這兩門課程都體系完備，授課教師在教學時經常是各自用各自的方法，很少想到互用，因而這兩門課程往往被學生理解為數學的兩個不同分支。實際上，高等代數中很多概念和方法都來源于二、三維幾何空間，而解析幾何研究的就是二維和三維空間中的幾何問題，處理問題的工具就是代數方法，因此這兩門課程之間有著密切的聯系。它們之間的關系可歸納為“代數為幾何提供研究方法，幾何為代數提供直觀背景”［１］。

高等代數與解析幾何分開授課，首先由于兩門課程中有許多交叉和重疊的內容，單獨授課必然會出現有些內容重復上的情況，這樣就浪費了寶貴的課時；其次，在講授高等代數的某些抽象理論時，由于幾何背景的缺乏，學生往往感到高度抽象，從而產生懼怕心理，不利于教學的正常開展；最后，在解析幾何的教學中經常要用到高等代數中的一些知識，但由于高等代數教學進度的滯后性，迫使在解析幾何課程中要花大量的時間來講授以后在高等代數中要講授的內容，從而影響解析幾何教學任務的完成。將兩門課程合并教學，不僅可以精簡教學內容，節省很多寶貴的課時，而且一方面在講授高等代數的一些抽象理論時，可以通過引入幾何背景來幫助消除高等代數的抽象性，使得所學知識便于接受。另一方面應用高等代數知識來解決解析幾何問題，可以讓學生體會高等代數應用的廣泛性，從而激發學習興趣，提高學習效率。

2.在教學中實現兩者融合的實踐

雖然我校目前還沒有將高等代數與解析幾何兩門課程合并授課，但在具體的教學中，我們已經開始注重它們之間的相互作用，充分重視這種“數”、“形”之間的相輔相成和相互交融。下面以實例說明它們之間的密切聯系。

2.1幾何為代數提供直觀背景

2.1.1行列式的幾何意義

行列式是高等代數中接觸到的第一個抽象性概念，初學者往往對繁雜的計算公式產生了恐懼，對學好高等代數缺乏信心，不利于課程教學的開展。為彌補這些不足，在教學中給出行列式的幾何背景將大有裨益。

從幾何觀點來看，二階行列式aaaa是平面上以向量α=aa，α=aa為鄰邊的平行四邊形的有向面積：當這個平行四邊形是由α逆時針旋轉到α得到時，面積為正；當這個平行四邊形是由α順時針旋轉到α得到時，面積為負。類似的，三階行列式的值就是三個向量在三維空間中張成的平行六面體的有向體積：當α，α，α構成右手系時，體積為正；當α，α，α構成左手系時，體積為負。這樣學生就能感覺到行列式是一個看得見、摸得著的數。同時啟發學生：我們可以把n階行列式定義為n個n維向量張成的平行多面體的有向體積。借助這個直觀的定義，對行列式7條性質的理解也就容易得多。

2.1.2Schmidt正交化過程的幾何解釋

Schmidt正交化過程是歐式空間中求標準正交基的一種常規方法，公式非常復雜，不易掌握。下面結合二、三維空間中的幾何直觀，給出Schmidt正交化產生的思維過程。

這一過程在R中的體現是：由兩個不共線的向量（線性無關）α，α得到兩個相互垂直（正交）的向量β，β，下面通過直觀圖（圖1）來展示正交化的過程：

β=α，β==α-=α-Prjαα.而Prjαα=，從而β=α-α=α-β.

R空間中Schmidt正交化過程是：由三個不共面的向量組（線性無關）α，α，α得到三個兩兩相互正交（垂直）的向量組β，β，β，如圖2所示，α=，α=，α=，則

β=α=，β==-=α-α=α-β，

是在L（β，β）面上的正交投影，則=β+β，從而

β==-=α-β-β.

以此類推，可以推導出n維歐式空間中的Schmidt正交化公式，而不需要機械地去記憶。

2.2代數為幾何提供研究方法

解析幾何是利用高等代數為基本工具來研究平面、直線、曲面及曲線的圖形和性質為主的一門數學課程。平面、直線、曲面、曲線方程的建立與求解，點、線、面的位置關系的處理，二次曲面的分類等都是用代數方法來研究的。下面以二次曲面的分類問題為例進行說明。

例:化3x+4xy+2z=1為標準方程，并指出它是何種曲面［５］。

解:設方程左邊二次型對應的對稱陣為A，顯然，A=320200002，

它的特征值為λ=4，λ=2，λ=1，由二次型的標準形就可得出標準方程為+-=1.

因此，該曲面為單葉雙曲面。

3.結語

高等代數與解析幾何兩門課程合并授課，并不是對它們進行簡單的知識合并，而是要將它們的靈魂進行結合，使得代數之中有幾何的背景，幾何之中有代數的思想，兩者成為一個完美的結合體。這項教學改革剛剛開始，還有很多問題有待解決，這就需要我們廣大數學工作者集思廣益，共同努力來搭建這兩者之間的橋梁。

參考文獻：

［1］陳志杰.高等代數與解析幾何［M］.北京:高等教育出版社，2001.

［2］楊德貴.高等代數與解析幾何一體化教學改革的探索［J］.貴州師范大學學報，2005，23，（4）:97-101.

［3］郭昀.高等代數與解析幾何課程合并的可行性分析［J］.曲靖師范學院學報，2003，（11）:57-58.

［4］張敏.《高等代數》與《解析幾何》合并設課的教學改革［J］.吉林師范大學學報，2003，（4）:117-118.

［5］趙連昌，劉曉東.線性代數與幾何［M］.北京:高等教育出版社，2001.

基金項目：池州學院教學研究項目2010jy013；池州學院教學研究項目2010jy045；池州學院《高等代數》優質課程建設。